続・正接関数 tan x の高階導関数

以前の記事で ${ \tan x }$ の高階導関数を ${ \tan x }$ の多項式で表したときの係数を、表を使って計算する方法を見ました。　今回はその結果を踏まえて、係数を与える式を導きたいと思います。　ただ、完全に一般的には出せていなくて、一部だけの表式となります。

${ \tan x }$ の最高次の係数

まずは ${ (\tan x)^{(n)} }$ の ${ \tan x }$ の最高次の係数。　前回出てきた表で一番右端の数です：

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0		1
1	1		1
2		2		2
3	2		8		6
4		16		40		24
5	16		136		240		120
6		272		1232		1680		720
7	272		3968		12096		13440		5040

この数列を ${ a_{0,m}\quad(m \geqq 1) }$ （ ${ m }$ は表の列番号と同じ）とすると、一般項は簡単に分かって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_{0,m} = (m-1)! \end{align*}}$

となります。　 ${ \tan x }$ の導関数の係数としても表しておきましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\tan x)^{(n)} = \sum_{m=0}^{n+1} t_{n,m} \tan^m x \end{align*}}$

とおく、つまり ${ \tan x }$ の ${ n }$ 階導関数における ${ \tan^m x }$ の係数を ${ t_{n+1,m} }$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} t_{n,n+1} = a_{0,n+1} = n! \qquad (n \geqq 0) \end{align*}}$

となります。

${ \tan x }$ の2番目に高次の項

次は少しずらして、以下の部分の数列の一般項を求めます。

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0		1
1	1		1
2		2		2
3	2		8		6
4		16		40		24
5	16		136		240		120
6		272		1232		1680		720
7	272		3968		12096		13440		5040

この一般項を ${ a_{1,m} }$ とおくと（ ${ m }$ は表の列番号と同じ）、前回の表の計算方法より以下の漸化式が得られます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_{1,m} &= (m-1)a_{1,m-1} + (m+1)a_{0,m+1} \qquad(m \geqq 1) \\ &= (m-1)a_{1,m-1} + (m+1)! \qquad(\because a_{0,m+1} = m!) \end{align*}}$

よって、 ${ a_{1,m} }$ の初項と漸化式は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} a_{1,0} = a_{0,1} = 1 \\[2mm] a_{1,m} = (m-1)a_{1,m-1} + (m+1)! & (m \geqq 1) \end{cases} \end{align*}}$

では、この数列の一般項を求めましょう。　漸化式の両辺を ${ (m-1)! }$ で割ると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{a_{1,m}}{(m-1)!} = \frac{a_{1,m-1}}{(m-2)!} + m(m+1) \end{align*}}$

ここで ${ m \geqq 1 }$ に対して ${ b_m = \frac{a_{1,m}}{(m-1)!} }$ とおくと、 ${ b_m }$ の初項と漸化式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} b_1= 2 \\[2mm] b_m = b_{m-1} + m(m+1) & (m \geqq 2) \end{cases} \end{align*}}$

となるので、 ${ m \geqq 2 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} b_m &= b_1 + \sum_{\ell = 2}^m(b_\ell - b_{\ell-1}) \\ &= 2 + \sum_{\ell = 2}^m \ell(\ell+1) \\ &= \sum_{\ell = 1}^m \ell(\ell+1) \end{align*}}$

ここで、「階乗冪の和の公式」で導いた和の公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{\ell=1}^m \ell(\ell+1)(\ell+2)\cdots(\ell+r-1) = \frac{1}{r+1}m(m+1)(m+2)\cdots(m+r) \end{align*}}$

を（ ${ r = 2 }$ として）使うと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} b_m &= \frac{1}{3}m(m+1)(m+2) \\ \therefore \, a_{1,m} &= \frac{1}{3}(m+2)! \qquad (m \geqq 2) \end{align*}}$

となります。　これは ${ m = 1 }$ のときも成り立ちます。　よって、結果をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_{1,m} = \begin{cases} 1 & (m = 0) \\[2mm] \dfrac{1}{3}(m+2)! & (m \geqq 1) \end{cases} \end{align*}}$

となります。　前節の ${ t_m^{(n)} }$ を表すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} t_{n,n-1} &= a_{1,n-1} \\[2mm] &= \begin{cases} 1 & (n = 1) \\[2mm] \dfrac{1}{3}(n+1)! & (n \geqq 2) \end{cases} \end{align*}}$

${ \tan x }$ の3番目に高次の項

また少しずらして、以下の数列の一般項を求めましょう。

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0		1
1	1		1
2		2		2
3	2		8		6
4		16		40		24
5	16		136		240		120
6		272		1232		1680		720
7	272		3968		12096		13440		5040

この数列を ${ a_{2,m} }$ とすると、初項と漸化式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} a_{2,0} = a_{1,1} \\[2mm] a_{2,m} = (m-1)a_{2,m-1} + (m+1)a_{1,m+1} & (m \geqq 1) \end{cases} \end{align*}}$

となります。　ここに前節の ${ a_{1,m} }$ の結果を使うと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} a_{2,0} = 2 \\[2mm] a_{2,m} = (m-1)a_{2,m-1} + \tfrac{1}{3}(m+1)(m+3)! & (m \geqq 1) \end{cases} \end{align*}}$

漸化式をもう少し変形して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_{2,m} &= (m-1)a_{2,m-1} + \frac{1}{3}(m+1)(m+3)! \\ &= (m-1)a_{2,m-1} + \frac{1}{3}(m+4)! - (m+3)! \\ \end{align*}}$

ここから前節と同じ手順で ${ a_m^{(2)} }$ の一般項を求めると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_{2,m} = \begin{cases} 2 & (m = 0) \\[2mm] \dfrac{1}{18}(m+5)! - \dfrac{1}{5}(m+4)! & (m \geqq 1) \end{cases} \end{align*}}$

となります。　また ${ t_{n,m} }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} t_{n,n-3} &= a_{2,n-3} \\[2mm] &= \begin{cases} 2 & (n = 3) \\[2mm] \dfrac{1}{18}(n+2)! - \dfrac{1}{5}(n+1)! & (n \geqq 4) \end{cases} \end{align*}}$

${ \tan\theta }$ の4番目に高次の項

次は結果だけ。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_{3,m} = \begin{cases} 16 & (m = 0) \\[2mm] \dfrac{1}{162}(m+8)! - \dfrac{1}{15}(m+7)! + \dfrac{1}{7}(m+6)! & (m \geqq 1) \end{cases} \end{align*}}$

${ t_{n,m} }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} t_{n,n-5} &= a_{3,n-5} \\[2mm] &= \begin{cases} 16 & (n = 5) \\[2mm] \dfrac{1}{162}(n+3)! - \dfrac{1}{15}(n+2)! + \dfrac{1}{7}(n+1)! & (n \geqq 6) \end{cases} \end{align*}}$