倭算数理研究所

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階乗冪の和の公式

以下のような積の和を一般に与える公式を導きます。

  { \displaystyle\begin{align*}
  S_2(n) &= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) \\[2mm]
  S_3(n) &=1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + n(n+1)(n+2)
\end{align*}}

参考

概要

後でもう少し一般化した場合を導出しますが、 { n = 2,\,3 } の場合に算数っぽく導出しておきます。 まずは  { n = 2 } の場合。

  { \displaystyle\begin{align*}
  S_2(n)
    &= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) \\
    &= \frac{1}{3}\Big[
        \left(1 \cdot 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 \cdot 2\right) \\
        &\qquad + \left(2 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 3\right) \\
        &\qquad + \left(3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4\right) \\
        &\qquad + \cdots \\
        &\qquad + \big\{n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)\big\}
      \Big] \\
    &= \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)
\end{align*}}

角括弧内の第1項内の1つ目の項  { 1 \cdot 2 \cdot 3 } と第2項内の2つ目の項  { -1 \cdot 2 \cdot 3 } が打ち消しあい、第2項内の1つ目の項  { 2 \cdot 3 \cdot 4 } と第3項内の2つ目の項  { -2 \cdot 3 \cdot 4 } が打ち消しあい、というのが続いて、結果的に第1項内の2つ目の項(これは0)と第  { n } 項内の1つ目の項が残ります。

同様にして  { n = 3 } の場合も計算できます。

  { \displaystyle\begin{align*}
  S_3(n)
    &= 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + n(n+1)(n+2) \\
    &= \frac{1}{4}\Big[
        \left(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 - 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3\right) \\
        &\qquad + \left(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\right) \\
        &\qquad + \left(3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5\right) \\
        &\qquad + \cdots \\
        &\qquad + \big\{n(n+1)(n+2)(n+3) - (n-1)n(n+1)(n+2)\big\}
      \Big] \\
    &= \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{align*}}

これで問題の式は導出できましたが、もう少し一般化した公式を導いておきましょう。

導出

 { f_r(n) }

  { \displaystyle\begin{align*}
  f_r(n) = n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)
\end{align*}}

で定義します。 これを用いて、問題の和を一般化した

  { \displaystyle\begin{align*}
  S_r(n) &= \sum_{m=1}^n f_r(m)
\end{align*}}

を求めます。 求め方は前節で行った方法と基本的に同じです。

まず、 { f_r(n) } を以下のように変形します:

  { \displaystyle\begin{align*}
  f_r(n)
    &= n(n+1)(n+2)\cdots(n+r-1) \\
    &= \frac{(n+r) - (n-1)}{r+1}\cdot n(n+1)(n+2)\cdots(n+r-1) \\
    &= \frac{1}{r+1}\Big\{n(n+1)(n+2)\cdots(n+r-1)(n+r) \\
      &\qquad - (n-1)n(n+1)(n+2)\cdots(n+r-1)\Big\} \\
    &= \frac{1}{r+1}\left\{f_{r+1}(n) - f_{r+1}(n-1)\right\}
\end{align*}}

 { n = 1 } から  { n = N } まで和をとると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sum_{n=1}^N f_r(n)
    &= \frac{1}{r+1}\Big[
        \left(f_{r+1}(1) - f_{r+1}(0)\right) \\
        &\qquad + \left(f_{r+1}(2) - f_{r+1}(1)\right) \\
        &\qquad + \left(f_{r+1}(3) - f_{r+1}(2)\right) \\
        &\qquad + \cdots \\
        &\qquad + \left(f_{r+1}(N) - f_{r+1}(N-1)\right)
      \Big] \\
    &= \frac{1}{r+1}f_{r+1}(N) \qquad (\because f_{r+1}(0) = 0) \\
    &= \frac{1}{r+1}N(N+1)(N+2)\cdots(N+r)
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  S_r(n)
    &= \frac{1}{r+1}n(n+1)(n+2)\cdots(n+r) \\
    &= \frac{1}{r+1}\frac{(n+r)!}{(n-1)!} \\
    &= \frac{1}{r+1} {}_{n+r}P_{r+1}
\end{align*}}

を得ます。

級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)

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