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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

大学数学で求める球の体積:4次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は4次元球の体積。

4次元球の体積

4次元球

  { \displaystyle\begin{align*}
    B_4(r) = \{(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4) \in \mathbf{R}^4 | \sum_{i=1}^4 x_i^2 = r^2\}
\end{align*}}

の体積を求めます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_4(r) = \int_{B_4(r)}dx_1dx_2dx_3dx_4
\end{align*}}

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 4次元」より、4次元極座標の体積要素は { r^3dr \sin^2\theta_1 \sin\theta_2 d\theta_1 d\theta_2 d\theta_3 } となるので

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_4(r)
        &= \int_{B_4(r)}r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2 dr d\theta_1 d\theta_2d\theta_3 \\[4mm]
        &= \int_0^r r^3dr \int_0^\pi \sin^2\theta_1d\theta_1 \int_0^\pi \sin\theta_2 d\theta_2 \int_0^{2\pi} d\theta_3
\end{align*}}

ここで

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\int_0^r r^3 dr = \frac{1}{4}r^4 \\[4mm]
    &\int_0^\pi \sin^2\theta_1d\theta_1 = 2I_2 = \frac{\pi}{2} \\[4mm]
    &\int_0^\pi \sin\theta_2 d\theta_2 = 2I_1 = 2 \\[4mm]
    &\int_0^{2\pi} d\theta_3 = 2\pi
\end{align*}}

ただし「とある三角関数の積分公式」で定義した { I_n } を使ってます。 以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_4(r)
        &= \frac{1}{4}r^4 \times \frac{\pi}{2} \times 2 \times 2\pi \\[4mm]
        &= \frac{1}{2} \pi^2 r^4
\end{align*}}

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