倭算数理研究所

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三角関数の公式を復習する (6) : 三倍角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三倍角の公式。 三倍角の公式の導出方法は倍角の公式の場合とだいたい同じです。 下線部を付けているのは、以前に導いた三角関数の相互関係、倍角の公式を使用している箇所です。

正弦

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin 3x
    &= \sin(2x + x) \\
    &= \underline{\sin 2x} \cos x + \underline{\cos 2x} \sin x \\
    &= 2\sin x \underline{\cos^2 x} + (1 - 2\sin^2 x)\sin x \\
    &= 2\sin x(1 - \sin^2 x) + (1 - 2\sin^2 x)\sin x \\
    &= 2\sin x - 2\sin^3 x + \sin x - 2\sin^3 x \\
    &= 3\sin x - 4\sin^3 x
\end{align*}}

余弦

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cos 3x
    &= \cos(2x + x) \\
    &= \underline{\cos 2x} \cos x - \underline{\sin 2x} \sin x \\
    &= (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\underline{\sin^2 x} \cos x \\
    &= (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2(1 - \cos^2 x)\cos x \\
    &= 2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x + 2\cos^3 x \\
    &= 4\cos^3 x - 3\cos x
\end{align*}}

正接

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tan 3x
    &= \tan (2x + x) \\[2mm]
    &= \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x \tan x} \\[2mm]
    &= \frac{\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} + \tan x}{1 - \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}\tan x} \\[2mm]
    &= \frac{2\tan x + \tan x(1 - \tan^2 x)}{(1-\tan^2 x) - 2\tan^2 x} \\[2mm]
    &= \frac{3\tan x - \tan^3x}{1 - 3\tan^2 x}
\end{align*}}

【発展】その他の三角関数
余接は正接と同じように計算できます。 余接の加法定理  { \cot (x+y) = \frac{\cot x \cot y - 1}{\cot x + \cot y} } より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cot 3x
    &= \frac{\cot 2x \cot x - 1}{\cot 2x + \cot x} \\[2mm]
    &= \frac{\frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x}\cot x - 1}{\frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x} + \cot x} \\[2mm]
    &= \frac{\cot^3 x - \cot x - 2\cot x}{\cot^2x - 1 + 2\cot^2 x} \\[2mm]
    &= \frac{\cot^3 x - 3\cot x}{3\cot^2 - 1}
\end{align*}}

正接の三倍角の公式は、正割の加法定理  { \sec(x+y) = \frac{\sec x \sec y}{1-\tan x \tan y} }正接の倍角の公式を使います:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sec 3x
    &= \frac{\sec 2x \sec x}{1 - \tan 2x \tan x} \\[2mm]
    &= \frac{\frac{\sec^2x}{1-\tan^2x}\sec x}{1 - \frac{2\tan x}{1-\tan^2x}\tan x} \\[2mm]
    &= \frac{\sec^3x}{1-\tan^2x - 2\tan^2x} \\[2mm]
    &= \frac{\sec^3x}{1-3\tan^2x}
\end{align*}}

分子は正割の3乗となり、分母は正接の三倍角の公式と一致します。

余割の三倍角の公式は正割と同様に導けます。 余割の加法定理  { \csc(x+y) = \frac{\csc x \csc y}{\cot x + \cot y} } より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \csc 3x
    &= \frac{\csc 2x \csc x}{\cot 2x + \cot x} \\[2mm]
    &= \frac{\frac{\csc^2 x}{2\cot x}\csc x}{\frac{\cot^2x - 1}{2\cot 2x} + \cot x} \\
    &= \frac{\csc^3x}{\cot^2x - 1 + 2\cot^3x} \\[2mm]
    &= \frac{\csc^3x}{3\cot^2x - 1}
\end{align*}}

となります。 分子は余割の3乗となり、分母は余接の三倍角の公式の分母と一致します。

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin 3x &= 3\sin x - 4\sin^3 x \\
  \cos 3x &= 4\cos^3 x - 3\cos x \\
  \tan 3x &= \frac{3\tan x - \tan^3x}{1 - 3\tan^2 x} \\[2mm]
  \cot 3x &= \frac{\cot^3 x - 3\cot x}{3\cot^2 - 1} \\[2mm]
  \sec 3x &= \frac{\sec^3x}{1-3\tan^2x} \\[2mm]
  \csc 3x &= \frac{\csc^3x}{3\cot^2x - 1}
\end{align*}}

【追記】

  • 高校では出てこない3つの三角関数についての公式を追記しました。

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