三角関数の公式を復習する (6) ：三倍角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。　今回は三倍角の公式。　三倍角の公式の導出方法は倍角の公式の場合とだいたい同じです。　下線部を付けているのは、以前に導いた三角関数の相互関係、倍角の公式を使用している箇所です。

正弦

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 3x &= \sin(2x + x) \\ &= \underline{\sin 2x} \cos x + \underline{\cos 2x} \sin x \\ &= 2\sin x \underline{\cos^2 x} + (1 - 2\sin^2 x)\sin x \\ &= 2\sin x(1 - \sin^2 x) + (1 - 2\sin^2 x)\sin x \\ &= 2\sin x - 2\sin^3 x + \sin x - 2\sin^3 x \\ &= 3\sin x - 4\sin^3 x \end{align*}}$

余弦

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos 3x &= \cos(2x + x) \\ &= \underline{\cos 2x} \cos x - \underline{\sin 2x} \sin x \\ &= (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\underline{\sin^2 x} \cos x \\ &= (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2(1 - \cos^2 x)\cos x \\ &= 2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x + 2\cos^3 x \\ &= 4\cos^3 x - 3\cos x \end{align*}}$

正接

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tan 3x &= \tan (2x + x) \\[2mm] &= \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x \tan x} \\[2mm] &= \frac{\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} + \tan x}{1 - \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}\tan x} \\[2mm] &= \frac{2\tan x + \tan x(1 - \tan^2 x)}{(1-\tan^2 x) - 2\tan^2 x} \\[2mm] &= \frac{3\tan x - \tan^3x}{1 - 3\tan^2 x} \end{align*}}$

【発展】その他の三角関数

余接は正接と同じように計算できます。　余接の加法定理 ${ \cot (x+y) = \frac{\cot x \cot y - 1}{\cot x + \cot y} }$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cot 3x &= \frac{\cot 2x \cot x - 1}{\cot 2x + \cot x} \\[2mm] &= \frac{\frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x}\cot x - 1}{\frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x} + \cot x} \\[2mm] &= \frac{\cot^3 x - \cot x - 2\cot x}{\cot^2x - 1 + 2\cot^2 x} \\[2mm] &= \frac{\cot^3 x - 3\cot x}{3\cot^2 - 1} \end{align*}}$

正接の三倍角の公式は、正割の加法定理 ${ \sec(x+y) = \frac{\sec x \sec y}{1-\tan x \tan y} }$ と正接の倍角の公式を使います：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sec 3x &= \frac{\sec 2x \sec x}{1 - \tan 2x \tan x} \\[2mm] &= \frac{\frac{\sec^2x}{1-\tan^2x}\sec x}{1 - \frac{2\tan x}{1-\tan^2x}\tan x} \\[2mm] &= \frac{\sec^3x}{1-\tan^2x - 2\tan^2x} \\[2mm] &= \frac{\sec^3x}{1-3\tan^2x} \end{align*}}$

分子は正割の3乗となり、分母は正接の三倍角の公式と一致します。

余割の三倍角の公式は正割と同様に導けます。　余割の加法定理 ${ \csc(x+y) = \frac{\csc x \csc y}{\cot x + \cot y} }$ より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \csc 3x &= \frac{\csc 2x \csc x}{\cot 2x + \cot x} \\[2mm] &= \frac{\frac{\csc^2 x}{2\cot x}\csc x}{\frac{\cot^2x - 1}{2\cot 2x} + \cot x} \\ &= \frac{\csc^3x}{\cot^2x - 1 + 2\cot^3x} \\[2mm] &= \frac{\csc^3x}{3\cot^2x - 1} \end{align*}}$

となります。　分子は余割の3乗となり、分母は余接の三倍角の公式の分母と一致します。

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 3x &= 3\sin x - 4\sin^3 x \\ \cos 3x &= 4\cos^3 x - 3\cos x \\ \tan 3x &= \frac{3\tan x - \tan^3x}{1 - 3\tan^2 x} \\[2mm] \cot 3x &= \frac{\cot^3 x - 3\cot x}{3\cot^2 - 1} \\[2mm] \sec 3x &= \frac{\sec^3x}{1-3\tan^2x} \\[2mm] \csc 3x &= \frac{\csc^3x}{3\cot^2x - 1} \end{align*}}$