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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の公式を復習する (6) : 三倍角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三倍角の公式。 三倍角の公式の導出方法は倍角の公式の場合とだいたい同じです。 下線部を付けているのは、以前に導いた三角関数の相互関係、倍角の公式を使用している箇所です。

正弦

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin 3x
        &= \sin(2x + x) \\
        &= \underline{\sin 2x} \cos x + \underline{\cos 2x} \sin x \\
        &= 2\sin x \underline{\cos^2 x} + (1 - 2\sin^2 x)\sin x \\
        &= 2\sin x(1 - \sin^2 x) + (1 - 2\sin^2 x)\sin x \\
        &= 2\sin x - 2\sin^3 x + \sin x - 2\sin^3 x \\
        &= 3\sin x - 4\sin^3 x
\end{align*}}

余弦

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos 3x
        &= \cos(2x + x) \\
        &= \underline{\cos 2x} \cos x - \underline{\sin 2x} \sin x \\
        &= (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\underline{\sin^2 x} \cos x \\
        &= (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2(1 - \cos^2 x)\cos x \\
        &= 2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x + 2\cos^3 x \\
        &= 4\cos^3 x - 3\cos x
\end{align*}}

正接

  { \displaystyle\begin{align*}
    \tan 3x
        &= \tan (2x + x) \\
        &= \frac{\underline{\tan 2x} + \tan x}{1 - \underline{\tan 2x} \tan x} \\
        &= \frac{\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} + \tan x}{1 - \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}\tan x} \\
        &= \frac{2\tan x + \tan x(1 - \tan^2 x)}{(1-\tan^2 x) - 2\tan^2 x} \\
        &= \frac{3\tan x - \tan^3x}{1 - 3\tan^2 x}
\end{align*}}

まとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin 3x &= 3\sin x - 4\sin^3 x \\
    \cos 3x &= 4\cos^3 x - 3\cos x \\
    \tan 3x &= \frac{3\tan x - \tan^3x}{1 - 3\tan^2 x}
\end{align*}}

補足
三倍角の公式は係数の 3, 4 や負符号が少々紛らわしいですが、{ \sin 3x,\, \cos 3x } がそれぞれ { \sin x,\,\cos x } の奇数次であることを覚えておけば、{ x } の特別な値の場合を簡単に計算して係数を確認できます。

例えば { \sin 3x } の場合、{ x = \frac{\pi}{2} } として

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\sin 3\tfrac{\pi}{2} = -1 \\
    &a\sin\tfrac{\pi}{2} + b\sin^3\tfrac{\pi}{2} = a + b
\end{align*}}

{ a,\,b }{ \pm 3,\,\pm 4 } のいずれかであることが記憶にあれば { a = 3,\,b = -4 } であることが分かります。

{ \cos 3x } の場合は { x = 0 } で同様のことが出来ます。

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