spire (Scala) での円周率の計算　Machin （マチン）の公式

spire という Scala 用の数学ライブラリがあるんですが、そのコードで円周率の値を計算をするために Machin （マチン）の公式というのを使ってたので、その公式が正しいことを計算で確かめてみます。

Machin の公式は

　　 ${ \displaystyle \frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} }$

で与えられます。　 ${ \arctan() }$ は逆正接関数で、これは与えられているとします。　ちょっとおどろおどろしい数値が入っていますが、証明はそこまで難しくありません。

準備

この公式の導出で使うのは正接の加法定理だけです。　正接の倍角の公式は加法定理からすぐ導けます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tan(x+y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \\ \tan 2\theta &= \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \end{align*} }$

導出は「三角関数の公式を復習する (3) ：三角関数の加法定理」などを参照。　そう言えば、 ${ \tan(-\theta) = - \tan\theta }$ も使うかな。

導出

${ \alpha = 4\arctan \frac{1}{5},\,\beta = \arctan \frac{1}{239} }$ とおくと、Machin の公式を示すには

　　 ${ \displaystyle \frac{\pi}{4} = \alpha - \beta }$

つまり

　　 ${ \displaystyle \tan(\alpha - \beta) = 1 }$

を示せばいいことになります。

まず ${ \alpha }$ の定義より

　　 ${ \displaystyle \tan \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5} }$

なので、正接の倍角の公式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tan \frac{\alpha}{2} &= \frac{2\cdot\frac{1}{5}}{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} \\ &= \frac{10}{24} \\ &= \frac{5}{12} \end{align*} }$

もう一度倍角の公式を使って

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tan \alpha &= \frac{2\cdot\frac{5}{12}}{1-\left(\frac{5}{12}\right)^2} \\ &= \frac{2\cdot 5 \cdot 12}{12^2 - 5^2} \\ &= \frac{120}{119} \\ &= \frac{240}{238} \end{align*} }$

最後の変形では、 ${ \beta }$ の中に 239 という数字があることを念頭に変形してます。

次に、 ${ \beta }$ の定義より

　　 ${ \displaystyle \tan \beta = \frac{1}{239} }$

さて、この結果を踏まえて ${ \tan(\alpha - \beta) }$ を計算すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tan(\alpha - \beta) &= \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \\ &= \frac{\frac{240}{238} - \frac{1}{239}}{1+\frac{240}{238}\cdot\frac{1}{239}} \\ &= \frac{240\cdot 239 - 238}{238\cdot 239 + 240} \\ &= \frac{(239+1)\cdot 239 - 238}{(239-1)\cdot 239 + 240} \\ &= \frac{239^2 + 239 - 238}{239^2 -239 + 240} \\ &= 1 \end{align*} }$