もしも高校で双曲線関数をやったなら (6) ：双曲線関数の三倍角の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ（目次）。　今回は双曲線関数の三倍角の公式を見ていきます。　双曲線関数の三倍角の公式も三角関数の場合と導き方は同様です。

正弦 ${ \sinh 3x }$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh 3x &= \sinh(2x + x) \\ &= \underline{\sinh 2x} \cosh x + \underline{\cosh 2x} \sinh x \\ &= 2\sinh x \underline{\cosh^2 x} + (1 + 2\sinh^2 x)\sinh x \\ &= 2\sinh x (1 + \sinh^2 x) + (1 + 2\sinh^2 x)\sinh x \\ &= 2\sinh x + 2\sinh^3 x + \sinh x + 2\sinh^3 x \\ &= 4\sinh^3 x + 3\sinh x \end{align*}}$

余弦 ${ \cosh 3x }$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh 3x &= \cosh(2x + x) \\ &= \underline{\cosh 2x} \cosh x + \underline{\sinh 2x} \sinh x \\ &= (2\cosh^2 x - 1)\cosh x + 2\underline{\sinh^2 x}\cosh x \\ &= (2\cosh^2 x - 1)\cosh x + 2(\cosh^2 x - 1)\cosh x \\ &= 2\cosh^3 x - \cosh x + 2\cosh^3 x - 2\cosh x \\ &= 4\cosh^3 x - 3\cosh x \end{align*}}$

正接 ${ \tanh 3x }$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh 3x &= \tanh (2x + x) \\ &= \frac{\underline{\tanh 2x} + \tanh x}{1 + \underline{\tanh 2x} \tanh x} \\ &= \frac{\frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x} + \tanh x}{1 + \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}\tanh x} \\ &= \frac{2\tanh x + \tanh x(1 + \tanh^2 x)}{(1+\tanh^2 x) + 2\tanh^2 x} \\ &= \frac{3\tanh x + \tanh^3x}{1 + 3\tanh^2 x} \end{align*}}$

三角関数の三倍角の公式と、純虚数の引数を使った方が簡単に導けるかも。

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sinh 3x &= 4\sinh^3 x + 3\sinh x \\ \cosh 3x &= 4\cosh^3 x - 3\cosh x \\ \tanh 3x &= \frac{3\tanh x + \tanh^3x}{1 + 3\tanh^2 x} \end{align*}}$