三角関数の公式を復習する (11) ：三角関数の積分

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。　今回は三角関数の積分。

微分公式の場合と同じように、ここでは正弦・余弦の微分公式はオイラーの公式を使って導いているので高校の範囲を逸脱していますが、結果は公式として覚えておくということでいいでしょう。　それら以外の三角関数の積分公式は（正弦・余弦の積分公式も使って）高校数学の範囲で導けます。

正弦・余弦

正弦・余弦の積分は正弦・余弦の微分公式から簡単に分かりますが、微分公式の場合と同じようにオイラーの公式を使って導いてみます。

オイラーの公式で正弦・余弦の積分公式をまとめて導く

オイラーの公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} e^{ix} = \cos x + i\sin x \end{align*}}$

の両辺を積分すれば

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int e^{ix} dx = \int \cos x dx + i \int \sin x dx \end{align*}}$

となりますが、左辺の積分を実行すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int e^{ix} dx &= \frac{1}{i}e^{ix} \\ &= \sin x - i \cos x \end{align*}}$

となるので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int \cos x dx + i \int \sin x dx = \sin x - i \cos x \end{align*}}$

実部と虚部を比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int \sin x dx &= -\cos x, & \int \cos x dx &= \sin x \end{align*}}$

を得ます。　きちんと微分公式の逆になっていますね。

正弦・余弦の積分公式を別々に導く

オイラーの公式を使って三角関数を指数関数で表すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin x &= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, & \cos x &= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \end{align*}}$

となります。　これを使って正弦・余弦の積分公式を導いて見ましょう。　まずは正弦：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int\sin x dx &= \int \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}dx \\ &= \frac{\frac{1}{i}e^{ix} + \frac{1}{i}e^{-ix}}{2i} \\ &= -\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\ &= -\cos x \end{align*}}$

${ i }$ がうまく消えて余弦の式（に負符号を付けたもの）になりますね。　余弦の場合も同様に計算できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int\cos x dx &= \int \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}dx \\ &= \frac{\frac{1}{i}e^{ix} - \frac{1}{i}e^{-ix}}{2} \\ &= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \\ &= \sin x \end{align*}}$

正接・余接

正接と余接（正接の逆数）の積分は、 ${ \sin x,\,\cos x }$ で表せば分母の微分が分子になっている形に持ち込めるので、簡単に積分できます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int \tan x \,dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} dx \\ &= -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx \\ &= -\log|\cos x| \end{align*}}$

余接も同じように簡単に積分できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int \cot x \,dx &= \int \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ &= \int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx \\ &= \log|\sin x| \end{align*}}$

【発展】その他の三角関数

正割・余割の積分はもう少し面倒。　分母・分子に ${ \sin\theta }$ もしくは ${ \cos\theta }$ を掛けて、置換積分で有理式の積分に持ち込みます。　まずは正割：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int \frac{d\theta}{\sin\theta} &= \int\frac{\sin\theta d\theta}{\sin^2\theta} \\ &= -\int\frac{dc}{1-c^2} \qquad(c = \cos\theta,\,dc = -\sin\theta d\theta) \\ &= -\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1+c}\right)dc \\ &= \frac{1}{2}\log \left|\frac{1-c}{1+c}\right| \\ &= \frac{1}{2}\log \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} \qquad\left(= \log\left|\tan\frac{\theta}{2}\right|\right) \end{align*}}$

余割も正割と同様に計算できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int \frac{d\theta}{\cos\theta} &= \int\frac{\cos\theta d\theta}{\cos^2\theta} \\ &= \int\frac{ds}{1-s^2} \qquad(s = \sin\theta,\,ds = \cos\theta d\theta) \\ &= \frac{1}{2}\log \left|\frac{1+s}{1-s}\right| \\ &= \frac{1}{2}\log \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \end{align*}}$

まとめ

積分定数は省略してます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int\sin x \,dx &= -\cos x \\ \int\cos x \;dx &= \sin x \\[4mm] \int\tan x \;dx &= -\log|\cos x| \\[2mm] \int\cot x \;dx &= \int\frac{dx}{\tan x} = \log|\sin x| \\[4mm] \int\sec x \;dx &= \frac{1}{2}\log \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} = \log\left|\tan\frac{\theta}{2}\right| \\[2mm] \int\csc x \;dx &= \frac{1}{2}\log \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \end{align*}}$