倭算数理研究所

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高校数学での三角関数の積分の確認

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 高校数学で三角関数を含む積分をあれこれ計算できるようになるには多少の演習が必要かと思いますが、問題集をやる前に

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \sin^n\theta d\theta, \qquad \int \cos^n\theta d\theta, \qquad \int\tan^n\theta d\theta
\end{align*}}

のような各三角関数の冪乗の積分をある程度できるようになっておいた方がいいでしょう。 この記事では  { -4 \leqq n \leqq 4 } の場合の積分の計算方法を見ていきます。

以下、積分定数は省略しています。

【この記事の内容】

正弦  { \sin \theta }余弦  { \cos \theta }

1次
1次の積分は公式そのままですね。 微分と符号が逆になるのが注意点ですかね。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \sin\theta d\theta &= -\cos\theta \\[4mm]
  \int \cos\theta d\theta &= \sin\theta
\end{align*}}

2次
2次は半角公式(『三角関数の公式を復習する (5) : 半角の公式』参照)を使います。 正弦と余弦で一部の項の符号が異なります。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \sin^2\theta d\theta
    &= \int \frac{1-\cos 2\theta}{2}d\theta \\
    &= \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\sin 2\theta \\[4mm]
  \int \cos^2\theta d\theta
    &= \int\frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta \\
    &= \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta 
\end{align*}}

3次
3次は  { \int f(\cos\theta)\sin\theta d\theta,\,\int f(\sin\theta)\cos\theta d\theta } の形にして置換積分を行います。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \sin^3\theta d\theta
    &= \int (1-\cos^2\theta) \sin\theta d\theta \\
    &= -\int (1-c^2) dc \qquad(c=\cos\theta,\,dc = -\sin\theta d\theta) \\
    &= -c + \frac{1}{3}c^3 \\
    &= -\cos\theta + \frac{1}{3}\cos^3\theta \\[4mm]
  \int \cos^3 \theta d\theta
    &= \int (1-\sin^2\theta) \cos\theta d\theta \\
    &= \int (1-s^2) ds \qquad(s=\sin\theta,\,ds = \cos\theta d\theta) \\
    &= s - \frac{1}{3}s^3 \\
    &= \sin\theta - \frac{1}{3}\sin^3\theta
\end{align*}}

5次以上の奇数次の積分も同様に多項式積分に帰着します。

4次
4次の積分では2次で行った半角の公式を2度繰り返し使って積分できる形に変形します。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \sin^4 \theta d\theta
    &= \int \left(\frac{1-\cos 2\theta}{2}\right)^2 d\theta \\
    &= \int \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{4}\cos^22\theta\right)d\theta \\
    &= \frac{1}{4}\theta - \frac{1}{4}\sin2\theta + \frac{1}{4}\int\frac{1+\cos4\theta}{2}d\theta \\
    &= \frac{1}{4}\theta - \frac{1}{4}\sin2\theta + \frac{1}{8}\theta + \frac{1}{32}\sin4\theta \\
    &= \frac{3}{8}\theta - \frac{1}{4}\sin 2\theta + \frac{1}{32}\sin4\theta \\[4mm]
  \int \cos^4\theta d\theta
    &= \int \left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^2 d\theta \\
    &= \frac{3}{8}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta + \frac{1}{32}\sin4\theta
\end{align*}}

6次以上の偶数次の積分も半角の公式を使って低次の積分に変形していけます。

-1次
-1次の積分は、分母・分子に  { \sin\theta } もしくは  { \cos\theta } を掛けて、3次の積分でやった置換積分の方法に持ち込みます。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \frac{d\theta}{\sin\theta}
    &= \int\frac{\sin\theta d\theta}{\sin^2\theta} \\
    &= -\int\frac{dc}{1-c^2} \qquad(c = \cos\theta,\,dc = -\sin\theta d\theta) \\
    &= -\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1+c}\right)dc \\
    &= \frac{1}{2}\log \left|\frac{1-c}{1+c}\right| \\
    &= \frac{1}{2}\log \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}
    \qquad\left(= \log\left|\tan\frac{\theta}{2}\right|\right) \\[4mm]
  \int \frac{d\theta}{\cos\theta}
    &= \int\frac{\cos\theta d\theta}{\cos^2\theta} \\
    &= \int\frac{ds}{1-s^2} \qquad(s = \sin\theta,\,ds = \cos\theta d\theta) \\
    &= \frac{1}{2}\log \left|\frac{1+s}{1-s}\right| \\
    &= \frac{1}{2}\log \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}
\end{align*}}

-2次
-2次の積分は公式として覚えましょう。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int\frac{d\theta}{\sin^2\theta} &= -\frac{1}{\tan\theta} \quad(=-\cot\theta) \\[4mm]
  \int\frac{d\theta}{\cos^2\theta} &= \tan\theta
\end{align*}}

-3次
分母・分子に  { \sin\theta } もしくは  { \cos\theta } をかけて置換積分をするのは -1次と同じですが、部分分数に分解するのがちょっと計算は面倒。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \frac{d\theta}{\sin^3\theta} 
    &= \int\frac{\sin\theta d\theta}{\sin^4\theta} \\
    &= -\int\frac{dc}{(1-c^2)^2} \qquad (c = \cos\theta) \\
\end{align*}}

ここで、被積分関数を部分分数に分解すると(やり方はいろいろあるでしょうけど、結果は同じ)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{(1-c^2)^2}
    &= \frac{1}{(1-c)^2(1+c)^2} \\
    &= \frac{1}{2}\left\{\frac{1}{(1-c)(1+c)^2} + \frac{1}{(1-c)^2(1+c)}\right\} \\
    &= \frac{1}{4}\left\{\frac{1}{(1+c)^2} + \frac{2}{(1-c)(1+c)} + \frac{1}{(1-c)^2}\right\} \\
    &=\frac{1}{4}\left\{\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1+c} + \frac{1}{(1-c)^2} + \frac{1}{(1+c)^2}\right\}
\end{align*}}

となるので

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \frac{d\theta}{\sin^3\theta}
    &= -\frac{1}{4}\int\left\{\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1+c} + \frac{1}{(1-c)^2} + \frac{1}{(1+c)^2}\right\}dc \\
    &= \frac{1}{4}\left(\log\left|\frac{1-c}{1+c}\right| - \frac{1}{1-c} + \frac{1}{1+c}\right) \\
    &= \frac{1}{4}\log\left|\frac{1-c}{1+c}\right| - \frac{c}{2(1-c^2)} \\
    &= \frac{1}{2}\log\left|\tan\frac{\theta}{2}\right| - \frac{\cos\theta}{2\sin^2\theta}
\end{align*}}

同様にして

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \frac{d\theta}{\cos^3\theta}
    &= \int \frac{\cos\theta d\theta}{\cos^4\theta} \\
    &= \int \frac{ds}{(1-s^2)^2} \qquad \left(s = \sin\theta\right) \\
    &= -\frac{1}{4}\log\left|\frac{1-s}{1+s}\right| + \frac{s}{2(1-s^2)} \\
    &= \frac{1}{4}\log\left|\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right| + \frac{\sin\theta}{2\cos^2\theta} \\
\end{align*}}

-4次
-4次は余弦の方が分かりやすいので、まずこちらから。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \frac{d\theta}{\cos^4\theta}
    &= \int(1+\tan^2\theta)\frac{d\theta}{\cos^2\theta} \\
    &= \int(1+t^2)dt \qquad \left(t = \tan\theta,\,dt = \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\right) \\
    &= t + \frac{1}{3}t^3 \\
    &= \tan\theta + \frac{1}{3}\tan^3\theta
\end{align*}}

正弦は上記の導出で  { 1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} } の代わりに  { 1+\frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} } を使えば同じように導けます。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \frac{d\theta}{\sin^4\theta}
    &= \int\left(1+\frac{1}{\tan^2\theta}\right)\frac{d\theta}{\sin^2\theta} \\
    &= -\int(1+x^2)dx \qquad \left(x = \frac{1}{\tan\theta},\,dx = -\frac{d\theta}{\sin^2\theta}\right) \\
    &= -x - \frac{1}{3}x^3 \\
    &= -\frac{1}{\tan\theta} - \frac{1}{3\tan^3\theta}
\end{align*}}

負の偶数乗は同様にして比較的簡単に導けます。

正接  { \tan \theta }

正弦・余弦が同じように積分できたように、正接とその逆数(余接  { \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} })は同じように積分できます。

1次・-1次
1次・-1次は正弦・余弦で表せば簡単。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \tan\theta d\theta
    &= \int\frac{\sin\theta}{\cos\theta}d\theta \\
    &= -\int \frac{(\cos\theta)'}{\cos\theta}d\theta \\
    &= -\log\left|\cos\theta\right| \\[4mm]
  \int \frac{d\theta}{\tan\theta}
    &= \int\frac{\cos\theta}{\sin\theta} d\theta \\
    &= \log\left|\sin\theta\right|
\end{align*}}

2次・-2次
公式  { 1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} } より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int\tan^2\theta d\theta
    &= \int \left(\frac{1}{\cos^2\theta} - 1\right)d\theta \\
    &= \tan\theta - \theta
\end{align*}}

同様にして、公式  { 1+\frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} } より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \frac{d\theta}{\tan^2\theta}
    &= \int \left(\frac{1}{\sin^2\theta} - 1\right)d\theta \\
    &= -\frac{1}{\tan\theta} - \theta
\end{align*}}

3次・-3次
3次・-3次は少し面倒。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int\tan^3\theta d\theta
    &= \int\tan\theta\left(\frac{1}{\cos^2\theta}-1\right)d\theta \\
    &= \int tdt - \int\tan\theta d\theta \qquad(t = \tan\theta) \\
    &= \frac{1}{2}\tan^2\theta + \log\left|\cos\theta\right| \\[4mm]
  \int\frac{d\theta}{\tan^3\theta}
    &= \int\left(\frac{1}{\sin^2\theta}-1\right)\frac{d\theta}{\tan\theta} \\
    &= -\int xdx - \int\frac{d\theta}{\tan\theta} \qquad\left(x = \frac{1}{\tan\theta}\right) \\
    &= -\frac{1}{2\tan^2\theta} - \log\left|\sin\theta\right|
\end{align*}}

それほどでもなかったかな?

4次・-4次
4次・-4次は他の積分の結果を使えば簡単。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \tan^4\theta d\theta
    &= \int\left(\frac{1}{\cos^2\theta}-1\right)^2d\theta \\
    &= \int \frac{d\theta}{\cos^4\theta} - 2\int\frac{d\theta}{\cos^2\theta} + \int d\theta \\
    &= \left(\tan\theta + \frac{1}{3}\tan^3\theta\right) - 2\tan\theta + \theta \\
    &= \theta - \tan\theta + \frac{1}{3}\tan^3\theta \\[4mm]
  \int \frac{d\theta}{\tan^4\theta}
    &= \int\left(\frac{1}{\sin^2\theta}-1\right)^2d\theta \\
    &= \int \frac{d\theta}{\sin^4\theta} - 2\int\frac{d\theta}{\sin^2\theta} + \int d\theta \\
    &= \left(-\frac{1}{\tan\theta} - \frac{1}{3\tan^3\theta}\right) + \frac{2}{\tan\theta} + \theta \\
    &= \theta + \frac{1}{\tan\theta} -\frac{1}{3\tan^3\theta}
\end{align*}}

今回扱わなかった積分でも

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int \sin^m\theta\cos^n\theta d\theta
\end{align*}}

のような基本的なものはありますが、まぁ今回扱った積分ができれば7割方なんとかなるんじゃないでしょうか。

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)