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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の公式を復習する (2) : 負の引数、純虚数の引数

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数で引数が負や純虚数である場合を考えます。

負の引数

まずは負の引数の場合。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin(-x)
    &= \frac{e^{i(-x)} - e^{-i(-x)}}{2i} \\
    &= \frac{e^{-ix} - e^{ix}}{2i} \\
    &= -\sin x \\[2mm]
  \cos(-x)
    &= \frac{e^{i(-x)} + e^{-i(-x)}}{2} \\
    &= \frac{e^{-ix} + e^{ix}}{2} \\
    &= \cos x \\[2mm]
  \tan(-x)
    &= \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} \\
    &= \frac{-\sin x}{\cos x} \\
    &= -\tan x 
\end{align*}}

よって、{ \sin x,\,\tan x } は奇関数、{ \cos x } は偶関数です。

高校では出てこない三角関数たちもやっておきましょう。 上記の3つの結果を使えば暗算で出せますが。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sec(-x)
    &= \frac{1}{\cos(-x)} \\
    &= \frac{1}{\cos x} \\
    &= \sec x \\[2mm]
  \textrm{cosec}(-x)
    &= \frac{1}{\sin(-x)} \\
    &= -\frac{1}{\sin x} \\
    &= -\textrm{cosec}\, x \\[2mm]
  \cot(-x)
    &= \frac{1}{\tan(-x)} \\
    &= -\frac{1}{\tan x} \\
    &= -\cot x
\end{align*}}

虚数の引数

これは高校ではやりませんが、{ i^2 = -1 } を使えば大して難しくないと思います。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin(ix)
    &= \frac{e^{i(ix)} - e^{-i(ix)}}{2i} \\
    &= \frac{e^{-x} - e^{x}}{2i} \\
    &= i\sinh x \\[4mm]
  \cos(ix) &= \frac{e^{i(ix)} + e^{-i(ix)}}{2} \\
    &= \frac{e^{-x} + e^{x}}{2} \\
    &= \cosh x \\[4mm]
  \tan(ix)
    &= \frac{\sin(ix)}{\cos(ix)} \\
    &= \frac{i\sinh x}{\cosh x} \\
    &= i\tanh x
\end{align*}}

高校で出てこない三角関数についても上記の関係を使えば簡単な計算で出せます。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sec(ix)
    &= \frac{1}{\cos(ix)} \\
    &= \frac{1}{\cosh x} \\
    &= \textrm{sech}\, x \\[2mm]
  \textrm{cosec}(ix)
    &= \frac{1}{\sin(ix)} \\
    &= \frac{1}{i\sinh x} \\
    &= -i\textrm{cosech}\, x \\[2mm]
  \cot(ix)
    &= \frac{1}{\tan(ix)} \\
    &= \frac{1}{i\tanh x} \\
    &= -i\coth x
\end{align*}}

公式まとめ

負の引数

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin(-x) &= -\sin x \\
    \cos(-x) &= \quad\cos x \\
    \tan(-x) &= -\tan x \\[2mm]
    \sec(-x) &= \quad\sec x \\
    \textrm{cosec}(-x) &= -\textrm{cosec}\, x \\
    \cot(-x) &= -\cot x
\end{align*}}

虚数の引数

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin(ix) &= i\sinh x \\
    \cos(ix) &= \;\,\cosh x \\
    \tan(ix) &= i\tanh x \\[2mm]
    \sec(ix) &= \quad\textrm{sech} x \\
    \textrm{cosec}(ix) &= -i\textrm{cosech} x \\
    \cot(ix) &= -i\coth x \\[2mm]
\end{align*}}

【追記】
高校で出てこない3つの三角関数についても追記しました。

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