倭算数理研究所

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三角関数の公式を復習する (3) : 三角関数の加法定理

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は大事な大事な三角関数加法定理を導きます。 複素数の性質を使えば { \sin x,\,\cos x } の表式を同時に導けますが(『オイラーの公式と三角関数の加法定理』参照)、そのうちやるつもりの双曲線関数に対してはこの方法を使えません。 したがって、少々助長な感じがしますが双曲線関数の場合にも適用できる方法で導いてみます。 まず、指数関数と三角関数の間には以下の関係があるのでした:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    e^{ix} &= \cos x + i\sin x \\
    e^{-ix} &= \cos x - i\sin x
  \end{cases}
\end{align*}}

これを用いて、{ \sin(x + y),\,\cos(x + y),\,\tan(x + y) } を定義から計算します:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin(x + y)
    &= \frac{e^{i(x + y)} - e^{-i(x + y)}}{2i} \\
    &= \frac{e^{ix}e^{iy} - e^{-ix}e^{-iy}}{2i} \\
    &= \frac{(\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y) - (\cos x - i \sin x)(\cos y - i \sin y)}{2i} \\
    &= \sin x \cos y + \cos x \sin y \\[4mm]
  \cos(x + y)
    &= \frac{e^{i(x + y)} + e^{-i(x + y)}}{2} \\
    &= \frac{e^{ix}e^{iy} + e^{-ix}e^{-iy}}{2} \\
    &= \frac{(\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y) + (\cos x - i \sin x)(\cos y - i \sin y)}{2} \\
    &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \\[4mm]
  \tan(x + y)
    &= \frac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)} \\
    &= \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y - \sin x \sin y} \\
    &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}
\end{align*}}

前回導いた負の引数に関する公式を使うと { x - y } に対する公式も簡単に導けます。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin(x - y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y \\
  \cos(x - y) &= \cos x \cos y + \sin x \sin y \\
  \tan(x - y) &= \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}
\end{align*}}

【発展】その他の三角関数
高校では出てこないその他の3つの三角関数についても加法定理を導いておきましょう。  { \cot(x+y) } については  { \tan(x+y) } と同じように導けます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cot(x + y)
    &= \frac{\cos(x + y)}{\sin(x + y)} \\
    &= \frac{\cos x \cos y - \sin x \sin y}{\sin x \cos y + \cos x \sin y} \\
    &= \frac{ \cot x \cot y - 1}{\cot x + \cot y} \\[2mm]
  \cot(x-y)
    &= -\frac{ \cot x \cot y + 1}{\cot x - \cot y}
\end{align*}}

 { \sec(x+y),\,\csc(x+y) } は、まぁあんまり綺麗な形にはならないですね:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sec(x+y)
    &= \frac{1}{\cos(x+y)} \\[2mm]
    &= \frac{1}{\cos x \cos y - \sin x \sin y} \\[2mm]
    &= \frac{\sec x \sec y}{1 - \tan x \tan y} \\[2mm]
  \sec(x-y)
    &= \frac{\sec x \sec y}{1 + \tan x \tan y} \\[4mm]
  \csc(x+y)
    &= \frac{1}{\sin(x+y)} \\[2mm]
    &= \frac{1}{\sin x \cos y + \cos x \sin y} \\[2mm]
    &= \frac{\csc x \csc y}{\cot x + \cot y} \\[2mm]
  \textrm{cosec}\;(x-y)
    &= -\frac{\csc x \csc y}{\cot x - \cot y}
\end{align*}}

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin(x + y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y \\
  \sin(x - y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y \\[2mm]
  \cos(x + y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \\
  \cos(x - y) &= \cos x \cos y + \sin x \sin y \\[2mm]
  \tan(x + y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \\[2mm]
  \tan(x - y) &= \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}
\end{align*}}

【発展】

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cot(x + y) &= \frac{ \cot x \cot y - 1}{\cot x + \cot y} \\[2mm]
  \cot(x-y) &= -\frac{ \cot x \cot y + 1}{\cot x - \cot y} \\[4mm]
  \sec(x+y) &= \frac{\sec x \sec y}{1 - \tan x \tan y} \\[2mm]
  \sec(x-y) &= \frac{\sec x \sec y}{1 + \tan x \tan y} \\[4mm]
  \csc(x+y) &= \frac{\csc x \csc y}{\cot x + \cot y} \\[2mm]
  \csc(x-y) &= -\frac{\csc x \csc y}{\cot x - \cot y}
\end{align*}}

【追記】

  • 高校では出てこない3つの三角関数についての加法定理を追記しました。

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