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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の公式を復習する (7) : 三角関数の合成

初等関数 高校数学

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の合成を見ていきます。 三角関数の合成は加法定理を今までと逆に使うというのがミソ。 使いどころを認識しておくのも大切です。 合成を実行する式は  { \sin x } { \cos x } の1次式です:

  { \displaystyle\begin{align*}
    a\sin x + b\cos x
\end{align*}}

合成の大まかな手順は

  1. { \sqrt{a^2+b^2} } でくくる
  2. 適切な角度 { \alpha } を探す
  3. 加法定理によって1つの三角関数に合成する

です。 まずは第1段階。

  { \displaystyle\begin{align*}
    a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x\right)
\end{align*}}

式は複雑ですが、やることは簡単。 次は第2段階。 以下を満たす角度 { \alpha } を探します:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos \alpha &= \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, & \sin \alpha &= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} & \left(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\right)
\end{align*}}

この { \alpha } が見つかったとしましょう。 すると、最後の第3段階で、この { \alpha } と加法定理を用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\sqrt{a^2 + b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x\right) \\[4mm]
    &\qquad= \sqrt{a^2 + b^2}\left(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha\right) \\
    &\qquad= \sqrt{a^2 + b^2}\;\sin(x + \alpha)
\end{align*}}

と合成できます。

公式まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\;\sin(x + \alpha)
\end{align*}}

ただし { \alpha } は以下を満たす実数:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos \alpha &= \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, & \sin \alpha &= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} &\left(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\right)
\end{align*}}

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