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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

オイラーの公式を高校数学に役立てる -和積&積和の公式編-

以前の記事「オイラーの公式と三角関数の加法定理」でオイラーの公式

  { \displaystyle
\begin{align*}
    e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta
\end{align*}
}

から三角関数の加法定理や倍角、三倍角の公式を導きましたが、同様にして積和の公式和積の公式も導けるのでやってみます。

積和の公式

まずは和積の公式。 これは三角関数の積を和に変換する公式です。 積和の公式を導くためには

  { \displaystyle
\begin{align*}
    e^{iA}\cos  B
\end{align*}
}

を2通りの方法で考えます(当初の記事から変更しました)。 まず普通にオイラーの公式を使って

  { \displaystyle
\begin{align*}
    e^{iA}\cos  B &= \cos A \cos B +  i \sin A \cos B
\end{align*}
}

実部と虚部がそれぞれ三角関数の積になるような式を考えるってことですね。 この式はまた

  { \displaystyle
\begin{align*}
    e^{iA}\cos  B
        &= e^{iA} \frac{e^{iB} + e^{-iB}}{2} \\
        &= \frac{e^{i(A+B)} + e^{i(A-B)}}{2} \\
        &= \frac{1}{2}\left\{\cos (A+B) + \cos (A-B)\right\} + \frac{1}{2} i \left\{ \sin (A+B) + \sin (A-B) \right\}
\end{align*}
}

とも変形できます。 実部、虚部を比べて

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \cos A \cos B &= \frac{1}{2}\left\{\cos (A+B) + \cos (A-B)\right\} \\
    \sin A \cos B &= \frac{1}{2} \left\{ \sin (A+B) + \sin (A-B) \right\}
\end{align*}
}

同様にして

  { \displaystyle
\begin{align*}
    e^{iA} \sin  B
\end{align*}
}

を考えると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    e^{iA}\sin  B &= \cos A \sin B +  i \sin A \sin B \\
    e^{iA}\sin  B &= e^{iA} \frac{e^{iB} - e^{-iB}}{2i} \\
        &= \frac{e^{i(A+B)} - e^{i(A-B)}}{2i} \\
        &= \frac{1}{2}\left\{\sin (A+B) - \sin (A-B)\right\} - \frac{1}{2} i \left\{ \cos (A+B) - \cos (A-B) \right\}
\end{align*}
}

よって

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \cos A \sin B &= \frac{1}{2}\left\{ \sin (A+B) - \sin (A-B) \right\} \\
    \sin A \sin B &= -\frac{1}{2}\left\{\cos (A+B) - \cos (A-B)\right\}
\end{align*}
}

和積の公式

次は和積の公式。 三角関数の和から積に変換する公式です。 次の式を2通りで考えます。 まずは

  { \displaystyle
\begin{align*}
    e^{i\alpha} + e^{i\beta} &= \cos \alpha + \cos \beta + i \left(\sin \alpha + \sin \beta \right)
\end{align*}
}

また

  { \displaystyle
\begin{align*}
    e^{i\alpha} + e^{i\beta}
        &= e^{i\frac{\alpha + \beta}{2}}\left(e^{i\frac{\alpha - \beta}{2}} + e^{-i\frac{\alpha - \beta}{2}}\right) \\
        &= 2 \left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2} + i \sin \frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos \frac{\alpha - \beta}{2}
\end{align*}
}

実部、虚部を比べて

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \sin \alpha + \sin \beta &= 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \\
    \cos \alpha + \cos \beta &= 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}
\end{align*}
}

同様にして

  { \displaystyle
\begin{align*}
    e^{i\alpha} - e^{i\beta} &= \cos \alpha - \cos \beta + i \left(\sin \alpha - \sin \beta \right) \\
    e^{i\alpha} - e^{i\beta} &= e^{i\frac{\alpha + \beta}{2}}\left(e^{i\frac{\alpha - \beta}{2}} - e^{-i\frac{\alpha - \beta}{2}}\right) \\
        &= 2i \left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2} + i \sin \frac{\alpha - \beta}{2}\right) \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \\
        &= 2 \left(-\sin \frac{\alpha+\beta}{2} + i \cos \frac{\alpha - \beta}{2}\right) \sin \frac{\alpha - \beta}{2}
\end{align*}
}

より

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \cos \alpha - \cos \beta &= -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \\
    \sin \alpha - \sin \beta &= 2 \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}
\end{align*}
}

となります。 加法定理や倍角の公式を導くのに比べてちょっとテクニカルですが、まぁ暗算の許容範囲レベル。 公式を覚えるのには使えなくもないかと。

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ

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