倭算数理研究所

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被積分関数と積分区間に変数を持つ積分の微分

なんか Twitter の TL に流れてたけど、どうもその流れでの説明があってるのかどうかよく分からなかったので、きちんと計算してみる。

問題

  { \displaystyle\begin{align*}
  y(t) = \int_{t_0}^t g(t,\,t')dt'
\end{align*}}

のとき  { \frac{dy}{dt} } を計算する。  { g(t,\,t') } は各変数で微分可能な任意関数。

証明
 { G(t,\,t') } { g(t,\,t') } { t' } に関する原始関数とする、つまり

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\partial G(t,\,t')}{\partial t'} &= g(t,\,t'), &
  G(t,\,t') &= \int g(t,\,t')dt' + C(t)
\end{align*}}

ただし、 { C(t) } { t' } 積分積分定数。 このとき  { y(t) = G(t,\,t) - G(t,\,t_0) } なので

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{dy}{dt}
    &= \left.\frac{\partial G(t,\,t')}{\partial t}\right|_{t'=t}
      + \left.\frac{\partial G(t,\,t')}{\partial t'}\right|_{t'=t}
      - \left.\frac{\partial G(t,\,t')}{\partial t}\right|_{t'=t_0}
\end{align*}}

となる。 ここで  { G(t,\,t') } の定義より第2項は  { g(t,\,t) }。 また

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\partial G(t,\,t')}{\partial t} = \int \frac{\partial g(t,\,t')}{\partial t} dt' + \frac{dC}{dt}
\end{align*}}

より、第1項と第3項は合わせて

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int_{t_0}^t \frac{\partial g(t,\,t')}{\partial t}dt'
\end{align*}}

となるので、結局

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{dy}{dt} = g(t,\,t) + \int_{t_0}^t \frac{\partial g(t,\,t')}{\partial t}dt'
\end{align*}}

が導かれる。