『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.3

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise 3.3. Show that the state
　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |W_n\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}}\left(|0...001\rangle + |0...010\rangle + |0...100\rangle + \cdots + |1...000\rangle\right) \end{align*}}$
is entangled, with respect to the decomposition into the ${ n }$ qubits, for every ${ n > 1 }$ .

まず0番目と1番目の Qubit だけを抜き出して考えます。　それぞれの状態が

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle_0 &= a_0|0\rangle_0 + b_0|1\rangle_0 \\ |\psi\rangle_1 &= a_1|0\rangle_1 + b_1|1\rangle_1 \end{align*}}$

（ただし、 ${ a_0,\,b_0,\,a_1,\,b_1 \in \textbf{C} }$ ）で与えられているとき、これらのテンソル積は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1 &= (a_0|0\rangle_0 + b_0|1\rangle_0) \otimes (a_1|0\rangle_1 + b_1|1\rangle_1) \\[2mm] &= a_0a_1|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + b_0a_1|10\rangle + b_0b_1|11\rangle \end{align*}}$

となります。

さて、この状態 ${ |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1 }$ が状態 ${ |W_n\rangle }$ の（ ${ n }$ 個の Qubit への）分解に含まれる条件を考えましょう。　 ${ |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1 }$ の最初の項の状態 ${ |00\rangle }$ は ${ |W_n\rangle }$ のどの項の状態にもなり得ないので、この項は消えなければいけません：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} & a_0a_1 = 0 \\ \therefore \, & a_0 = 0 \quad \textrm{or} \quad a_1 = 0 \end{align*}}$

${ a_0 = 0 }$ のとき、 ${ |\psi\rangle_0 \otimes |\psi\rangle_1 }$ の第2項 ${ a_0b_1|01\rangle }$ が消えるので、 ${ |W_n\rangle }$ の中の ${ |0...001\rangle }$ の項もなくなってしまいます。　同様にして ${ a_1 = 0 }$ のときは ${ |W_n\rangle }$ の中の ${ |0...010\rangle }$ の項がなくなります。　よって ${ |W_n\rangle }$ は ${ n }$ 個の Qubit のテンソル積に分解することはできません。　つまり、この分解に関して量子もつれ状態です。

別解

${ n }$ -Qubit 系の状態を ${ n }$ 個の Qubit のテンソル積に分解するのは、基本的には単なる因数分解なので、分解したい状態に以下のような変換を施せば、 ${ n }$ 元（ ${ n }$ 変数）1次式の因数分解の問題になります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} |0\rangle_i \mapsto 1 \\ |1\rangle_i \mapsto x_i \end{cases} \end{align*}}$

ここで ${ x_i \,(i = 0,\,1,\,2,\,\cdots,\,n-1) }$ は適当な変数です。　状態 ${ W_n }$ にこの変換を施すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |W_n\rangle \mapsto \frac{1}{\sqrt{n}}\left(x_0 + x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1}\right) \end{align*}}$

となります。　この1次式はこれ以上因数分解できないので、 ${ |W_n\rangle }$ は ${ n }$ 個の Qubit に分解することはできません。

c.f. 上記の方法で分解できる例をやっておきましょう。　p.40 で例示されている状態

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|0000\rangle + |0101\rangle + |1010\rangle + |1111\rangle\right) \end{align*}}$

に対して上記の変換を適用すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle &\mapsto \frac{1}{2}\left(1 + x_0x_2 + x_1x_3 + x_0x_1x_2x_3\right) \\ &= \frac{1}{2}(1+x_0x_2)(1+x_1x_3) \end{align*}}$

のように因数分解できるので、結局 ${ |\psi\rangle }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle = \frac{1}{2}(|0\rangle_0|0\rangle_2 + |1\rangle_0|1\rangle_2) (|0\rangle_1|0\rangle_3 + |1\rangle_1|1\rangle_3) \end{align*}}$