『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.4

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise 3.4. Show that the state
　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |GHZ_n\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00...0\rangle + |11...1\rangle\right) \end{align*}}$
is entangled, with respect to the decomposition into the ${ n }$ qubits, for every ${ n > 1 }$ .

前回と同様の手順で導きます。　1つ目と2つ目の Qubit のテンソル積

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |\psi\rangle_0\otimes|\psi\rangle_1 &= \left(a_0|0\rangle + b_0|1\rangle\right)\otimes\left(a_1|0\rangle + b_1|1\rangle\right) \\ &= a_0a_1|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + b_0a_1|10\rangle + b_0b_1|11\rangle \end{align*}}$

に関して、これが状態 ${ |GHZ_n\rangle }$ に含まれる条件を考えると、 ${ |\psi\rangle_1\otimes|\psi\rangle_0 }$ の第2項、第3項の状態 ${ |01\rangle,\,|10\rangle }$ が ${ |GHZ_n\rangle }$ に含まれないことから

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} & a_0 b_ 1 = 0 \quad \textrm{かつ} \quad b_0a_1 = 0 \\ \therefore \, & a_0a_1b_0b_1 = 0 \end{align*}}$

を得ます。　これより ${ a_0a_1 }$ もしくは ${ b_0b_1 }$ のどちらかが0でなければならないので、結局 ${ |\psi\rangle_0\otimes|\psi\rangle_1 }$ の第1項もしくは第4項の少なくともどちらかは消えなくてはならず、この両方を含まなければならない ${ |GHZ_n\rangle }$ の分解要素として現れることができません。　よって、 ${ |GHZ_n\rangle }$ は ${ n }$ 個の Qubit への分解に関して量子もつれ状態です。