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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

座標変換でドップラー効果の公式を導いてみる : 観測者が動く場合

波動

ガリレイ変換を用いて音のドップラー効果 (Doppler effect) の公式を導いてみます、第2弾(目次)。 前回に引き続き、今回は観測者のみが動いて、音源は静止している場合を考えます。

音源が静止している座標系では

観測者 (observer) の速度を { v_o }*1、音速を { V } とします。

このとき、位相は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \theta(x,\,t) &= kx - \omega t & \left(kV = \omega\right)
\end{align*}
}

となります。

観測者が静止している座標系では

次に座標系を変換して、観測者が静止している座標系に移りましょう。

変換はやはりガリレイ変換で、今の場合は以下のようになります:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases}
        x &\longrightarrow\quad x' = x - v_o t \\
        t &\longrightarrow\quad t' = t
    \end{cases}
\end{align*}
}

これを逆に解くと

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases} x = x' + v_o t' \\ t = t' \end{cases}
\end{align*}
}

となります。 この変換を { \theta(x,\, t) } に施すと

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \theta(x,\,t) &= kx - \omega t \\
        &= k\left(x' + v_o t' \right)  - \omega t' \\
        &= kx' - \left(\omega - kv_o\right)t' \\
        &= kx' - \frac{V - v_o}{V}\omega t' & \left(\because kV = \omega\right)
\end{align*}
}

これが { \theta '(x',\,t') = k'x' - \omega't' } に等しくなる(位相が共変)として

  { \displaystyle
\begin{align*}
    k' &= k ,&
    \omega' &= \frac{V - v_o}{V}\omega
\end{align*}
}

を得ます。 ただし、{ k',\,\omega' } は観測者が静止している座標系での波数と角振動数で、これは観測者が観測する波数と角振動数となります。

波長と振動数の変換

上記の波数と角振動数の変換式から、波長と振動数の変換式を導くと

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \lambda' &= \frac{2\pi}{k'} = \frac{2\pi}{k} = \lambda \left( = \frac{V}{\nu} \right) \\
    \nu' &= \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{V - v_o}{V}\frac{\omega}{2\pi} = \frac{V - v_o}{V}\nu
\end{align*}
}

となります。 まとめると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \lambda' &= \lambda,&
    \nu' = \frac{V - v_o}{V}\nu
\end{align*}
}

*1:前回と同様、{ v_o } が負の場合は { x } 軸の負の方向に進む、という意味で方向を考えます。 音速 { V } も同様。