ガリレイ変換を用いて音のドップラー効果 (Doppler effect) の公式を導いてみます、第2弾(目次)。 前回に引き続き、今回は観測者のみが動いて、音源は静止している場合を考えます。
音源が静止している座標系では
観測者 (observer) の速度を *1、音速を とします。このとき、位相は
となります。
観測者が静止している座標系では
次に座標系を変換して、観測者が静止している座標系に移りましょう。変換はやはりガリレイ変換で、今の場合は以下のようになります:
これを逆に解くと
となります。 この変換を に施すと
これが に等しくなる(位相が共変)として
を得ます。 ただし、 は観測者が静止している座標系での波数と角振動数で、これは観測者が観測する波数と角振動数となります。
波長と振動数の変換
上記の波数と角振動数の変換式から、波長と振動数の変換式を導くと
となります。 まとめると
*1:前回と同様、 が負の場合は 軸の負の方向に進む、という意味で方向を考えます。 音速 も同様。