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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

正六面体(立方体)の計量

今回は正六面体(立方体)の表面積や体積など。 5つの正多面体の中で一番簡単。 粛々といきましょう。

一辺の長さを  { a } とし、以下のように頂点に名前を付けておきます。

f:id:waman:20150921210238p:plain

青線で書いた長方形は後で種々の半径を計算するときに使います。

幾何学的対象の個数等

面の数  { f } 6
辺の数  { e } 12
頂点の数  { v } 8
面の形状(正  { m } 角形) 正方形 ( { m = 4 })
1つの頂点に集まる面の個数  { p } 3
双対パートナー 正八面体

オイラーの関係式は

  { \displaystyle f - e + v = 6 - 12 + 8 = 2 }

となって成り立っています。

正多面体で面の数  { f }、面の形状(正  { m } 角形)、1つの頂点に集まる面の個数  { p } から辺の数  { e } と頂点の数  { v } を計算すると

  { \displaystyle
\begin{align*}
  e &= \frac{mf}{2} = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12 \\
  v &= \frac{mf}{p} = \frac{4 \cdot 6}{3} = 8
\end{align*}
}

となり、こちらも成り立っています。

隣り合う2つの面のなす角  { \varphi }

計算するまでも無く

  { \displaystyle \varphi = \frac{\pi}{2} = 90^\circ }

ですな。

表面積  { S } ・体積 { V }

これまた計算するまでもないですね。

  { \displaystyle
\begin{align*}
  S &= 6a^2 \\
  V &= a^3
\end{align*}
}

内接球・辺に接する球・外接球の半径  { r,\,\rho,\,R }

ここまでは(文字で表している以外は)小学校レベルの話だけど、ここからは中3レベルの数学(三平方の定理)が必要。 まぁ、計算式書くほどでもないですが。 上記の図で青色の長方形を書き出すと
f:id:waman:20150921210258p:plain

対角線 AG の長さが  { \sqrt{3}a } なので

  { \displaystyle
\begin{align*}
  r &= \frac{1}{2}a \\[2mm]
  \rho &= \frac{\sqrt{2}}{2}a \\[2mm]
  R &= \frac{\sqrt{3}}{2}a
\end{align*}
}

これらの比は

  { \displaystyle
\begin{align*}
  r : \rho : R
    &= \frac{1}{2}a : \frac{\sqrt{2}}{2}a : \frac{\sqrt{3}}{2}a \\
    &= 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}
\end{align*}
}

となります。

体積から内接球の半径を求める
正六面体 ABCD-EFGH を、重心 O を頂点とし6つの各面を底面とする正四角錐に分割すると、この正四角錐の高さが  { r } となるので

  { \displaystyle
\begin{align*}
  a^3 &= 6 \cdot \frac{1}{3} r \cdot a^2 \\
  r &= \frac{1}{2}a
\end{align*}
}

となって、先ほどの結果と一致します。

次回は正八面体。 これはまだ中学~高校数学のレベルで解けますね。