高校数学で導く3次方程式の解の公式

高校数学では2次方程式の解の公式までしか学習しませんが、3次方程式の解の公式も高校数学の範囲内で導くことができます。　ここでは、解ける形の方程式から順々に一般的な形にしていきます。

${ x^3 - 3yzx + y^3 + z^3 = 0 }$ ▷
${ x^3 - 3yzx - y^3 - z^3 = 0 }$ ▷
${ x^3 + px + q = 0 }$ ▷
${ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 }$ ▷

${ x }$ の3次方程式 ${ x^3 - 3yzx + y^3 + z^3 = 0 }$ の解

${ x }$ の3次方程式
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 - 3yzx + y^3 + z^3 = 0 \end{align*} }$
の解は次式で与えられる：
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x &= -\omega^k y - \omega^{2k} z & (k = 0,\,1,\,2) \end{align*} }$
ただし ${ \omega }$ は1の3乗根のうち実数でないものとします。

証明

以前の記事「とある高校数学の高次恒等式」で証明した因数分解の公式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 - 3yzx + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)(x + \omega^2 + \omega^4 z) \end{align*} }$

より、問題の方程式は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)(x + \omega^2 y + \omega^4 z) = 0 \end{align*} }$

となります。　よって、この方程式の解は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x &= -y-z,\; - \omega y - \omega^2 z,\; - \omega^2 y - \omega^4 z \\ &= - \omega^k y - \omega^{2k} z & (k = 0,\,1,\,2) \end{align*} }$

${ x }$ の3次方程式 ${ x^3 - 3yzx - y^3 - z^3 = 0 }$ の解

${ x }$ の3次方程式
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 - 3yzx - y^3 - z^3 = 0 \end{align*} }$
の解は次式で与えられる：
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x &= \omega^k y + \omega^{2k} z & (k = 0,\,1,\,2) \end{align*} }$
ただし ${ \omega }$ は1の3乗根のうち実数でないものとします。

証明

前節の結果で

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} y \rightarrow -y \\ z \rightarrow -z \end{cases} \end{align*} }$

の置き換えをすれば示せます。

${ x }$ の3次方程式 ${ x^3 + px + q = 0 }$ の解

${ x }$ の3次方程式 ${ x^3 + px + q = 0 }$ の解は次式で与えられる：
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x = \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 +\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \end{align*} }$
ただし ${ k = 0,\,1,\,2 }$ 。　また ${ \omega }$ は1の3乗根のうち実数でないものとします。

証明

上記の方程式と前節の結果を見比べると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} p = -3yz \\ q = -y^3 - z^3 \end{cases} \cdots (1) \end{align*} }$

の対応関係があることが分かります。　したがって、これらを逆に解いて ${ (y,\,z) }$ を ${ (p,\,q) }$ で表せば、前回の結果を用いて問題の方程式の解が得られます。

${ (y,\,z) }$ を ${ (p,\,q) }$ で表す

(1)より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} y^3 + z^3 = -q \\ y^3z^3 = -\dfrac{p^3}{27} \end{cases} \end{align*} }$

となるので、 ${ y^3,\,z^3 }$ は ${ t }$ の2次方程式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} t^2 + q t - \frac{p^3}{27} = 0 \end{align*} }$

の解であることが分かります。　2次方程式の解の公式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} y^3,\,z^3 &= \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2} \\[2mm] &= -\frac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3} \end{align*} }$

したがって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} y,\,z = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \end{align*} }$

方程式の解

前節の結果を用いれば、結局方程式 ${ x^3 + px + q = 0 }$ の解は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x &= \omega^k y + \omega^{2k} z \\[2mm] &= \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \end{align*} }$

となります。　ただし ${k = 0,\, 1,\,2 }$ 。

${ x }$ の3次方程式 ${ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 }$ の解

${ x }$ の3次方程式
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \end{align*} }$
の解は次式で与えられる：
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x = \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} - \frac{b}{3a} \end{align*} }$
ここで
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} p = - \frac{b^2 - 3ac}{3a^2},\quad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}, \quad k = 0,\,1,\,2 \end{align*} }$

証明

方程式 ${ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 }$ の両辺を ${ a }$ で割ると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0 \end{align*} }$

ここで以下のように変数を ${ x }$ から ${ \xi }$ に変換します：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x \rightarrow \xi = x + \frac{b}{3a} \end{align*} }$

この変換によって方程式は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \left(\xi - \frac{b}{3a}\right)^3 + \frac{b}{a}\left(\xi - \frac{b}{3a}\right)^2 + \frac{c}{a}\left(\xi - \frac{b}{3a}\right) + \frac{d}{a} &= 0 \\[2mm] \xi^3 - \frac{b^2 - 3ac}{3a^2} \xi + \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} &= 0 \end{align*} }$

となるので

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} p = - \dfrac{b^2 - 3ac}{3a^2} \\[2mm] q = \dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} \end{cases} \end{align*} }$

とおけば前節の結果が使えて

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \xi &= \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \\[2mm] \therefore x &= \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} - \frac{b}{3a} \end{align*} }$

となります。　ただし ${ k = 0,\,1,\,2 }$ 。

追記

平方根の中で、 ${ \left(-\frac{q}{2}\right)^2 }$ と書くべき場所を ${ -\left(\frac{q}{2}\right)^2 }$ 書いてたのは間違い。　平方の中の負符号も落として ${ \left( \frac{q}{2}\right)^2 }$ と修正しました。　（2013年10月22日）

倭算数理研究所

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