フーリエ変換に関してを少々数学を

前回の記事で扱ったフーリエ変換に関する数学をちょっとだけ。

直交性： Orthogonality

フーリエ変換では、基底となる指数関数の直交関係が逆変換の存在を保証しています。　ここではこの直交関係を導いてみましょう。　 ${ q = e^{2πi/N} }$ として、直交関係は以下のように表されます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{n=0}^{N-1}q^{nk}q^{-nk'} = N\delta_{k,k'} \end{align*} }$

ここで ${ \delta_{k,k'} }$ はクロネッカー (Kronecker) のデルタです。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \delta_{k,k'} = \begin{cases}1 & (k = k') \\ 0 & (k \ne k')\end{cases} \end{align*} }$

証明

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{n=0}^{N-1}q^{nk}q^{-nk'} = \sum_{n=0}^{N-1}q^{n(k-k')} \end{align*} }$

ここで k = k' の場合

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{n=0}^{N-1}q^{n(k-k')} = \sum_{n=0}^{N-1}1 = N \end{align*} }$

また ${ k \ne k' }$ の場合、 ${ \kappa = k - k' }$ とおいて、等比級数になっていることに着目すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{n=0}^{N-1}q^{n\kappa} &= \sum_{n=0}^{N-1}\left(q^\kappa\right)^n \\ &= \frac{1-q^{\kappa N}}{1-q^\kappa} \\ &= \frac{1-1}{1-q^\kappa} & (\because q^N = 1) \\ &= 0 \end{align*} }$

よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{n=0}^{N-1}q^{nk}q^{-nk'} = N \delta_{k,k'} \end{align*} }$

正規化： Normalization

フーリエ変換・逆変換が以下の定義されているとしましょう：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \mathcal{F} : x_n \mapsto y_n = \mathcal{N}\sum_{k=0}^{N-1} x_k \, q^{-kn} \\ \mathcal{F}^{-1} : y_n \mapsto x_n = \mathcal{N}'\sum_{k=0}^{N-1} y_k \, q^{kn} \end{align*} }$

このとき、変換と逆変換を続けて行ったときに元に戻るためには、正規化にどのような条件が満たされているべきかを求めましょう。　逆変換の式の ${ y_n }$ に変換式の ${ y_n }$ を代入して計算し、上記の直交関係なども使うと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x_n &= \mathcal{N}'\sum_{k=0}^{N-1}y_k \, q^{kn} \\ &= \mathcal{N}'\sum_{k=0}^{N-1}\left(\mathcal{N}\sum_{\ell=0}^{N-1} x_{\ell} \, q^{-\ell k}\right) \, q^{kn} \\ &= \mathcal{N'N}\sum_{\ell=0}^{N-1}x_\ell \sum_{k=0}^{N-1}q^{k(n - \ell)} \\ &= \mathcal{N'N}\sum_{\ell=0}^{N-1}x_\ell N\delta_{n,\ell} \\ &= \mathcal{N'N} N x_n \end{align*} }$