今回は正六面体(立方体)の表面積や体積など。 5つの正多面体の中で一番簡単。 粛々といきましょう。
一辺の長さを とし、以下のように頂点に名前を付けておきます。
青線で書いた長方形は後で種々の半径を計算するときに使います。
幾何学的対象の個数等
面の数 | 6 |
---|---|
辺の数 | 12 |
頂点の数 | 8 |
面の形状(正 角形) | 正方形 () |
1つの頂点に集まる面の個数 | 3 |
双対パートナー | 正八面体 |
オイラーの関係式は
となって成り立っています。
正多面体で面の数 、面の形状(正 角形)、1つの頂点に集まる面の個数 から辺の数 と頂点の数 を計算すると
となり、こちらも成り立っています。
隣り合う2つの面のなす角
計算するまでも無く
ですな。
表面積 ・体積
これまた計算するまでもないですね。
内接球・辺に接する球・外接球の半径
ここまでは(文字で表している以外は)小学校レベルの話だけど、ここからは中3レベルの数学(三平方の定理)が必要。 まぁ、計算式書くほどでもないですが。 上記の図で青色の長方形を書き出すと対角線 AG の長さが なので
これらの比は
となります。
体積から内接球の半径を求める
正六面体 ABCD-EFGH を、重心 O を頂点とし6つの各面を底面とする正四角錐に分割すると、この正四角錐の高さが となるので
となって、先ほどの結果と一致します。
次回は正八面体。 これはまだ中学~高校数学のレベルで解けますね。