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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ζ(2) の値

特殊関数

この記事では次式が成り立つことを示します:

  { \displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} }

前提とする関係式

{ \arcsin x }導関数
  { \displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }

 { \arcsin x } の冪級数展開
 { -1 \leqq x \leqq 1 } の範囲において

  { \displaystyle \arcsin x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} }

 { I_n } の値
 { I_n }

  { \displaystyle I_n = \int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1-x^2}}dx }

と定義するとき*1

  { \displaystyle I_{2n+1} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} }

が成り立つ。

導出の流れ

 { s,\,t,\,I }

  { \displaystyle
\begin{align*}
    s &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} \qquad &
    t &= \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2} \qquad &
    I &=\int_0^1\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx
\end{align*}
}

と定義します。 で、 { \zeta(2) } の導出の流れは以下の通り:

  1. [tex:{ I = t } となることを示す。
  2. { I }積分を実行して、{ I } すなわち { t } の値を求める。
  3. { t } の値から { s } の値を求める。

導出

1. { I = t } を示す
{ \arcsin x } の展開式を用いると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    I &=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right)dx\\[2mm]
        &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\int_0^1\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx
\end{align*}
}

ここで { I_n } の定義と { n } が奇数の場合の表式を用いると

  { \displaystyle
\begin{align*}
     I&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1} I_{2n+1}\\[2mm]
     &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\[2mm]
     &=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\\[2mm] &=t
\end{align*}
}

よって { I = t } が導けました。

2. { t } の値を求める
{ \arcsin x }微分公式より

  { \displaystyle
\begin{align*}
    I &= \int_0^1\arcsin x\,(\arcsin x)'dx\\
    &=\left[\frac{1}{2}(\arcsin x)^2\right]_0^1\\
    &=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\\
    &=\frac{\pi^2}{8}
\end{align*}
}

よって

  { \displaystyle t = \frac{\pi^2}{8} }

となります。

3. { t } の値から { s } の値を求める
まずは { s }級数を分解して、{ s }{ t } の間の関係を導きましょう:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    s &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\\
    &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\\
    &= \frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} + \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\\
    &= \tfrac{1}{4}s + t
\end{align*}
}

これを { s } について解くと

  { \displaystyle \therefore s = \tfrac{4}{3}t }

ここで上記で導いた { t } の値を用いると

  { \displaystyle s = \frac{\pi^2}{6} }

となります。

*1:これは、実は「とある三角関数の積分公式」で定義した  { I_n } と一致する。