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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

高校数学で求める球の体積 :3次元

3次元 高校数学

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元。 半径 { r } の3次元球 { B_3(r) = \{ (x, y, z) \in \mathbf{R}^3 | x^2+y^2+z^2 \le r^2 \} } の体積

  { \displaystyle V_3(r) = \int_{B_3(r)}dxdydz }

を求めます。 { B_3(r) } は半径 { r } の普通の「球」です。

{ B_3(r) }{ x } 軸に垂直で球の中心から距離 { x } の平面で切ると、半径 { \sqrt{r^2-x^2} } の「2次元球」(円)になり、その「2次元体積」(面積)は、前回の結果より

  { \displaystyle V_2(\sqrt{r^2-x^2}) = \pi(r^2-x^2) }

となります。 したがって、V3(r) は以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_3(r) &= \int_{-r}^r V_2(\sqrt{r^2-x^2}) dx \\[2mm]
        &= \pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx \\[2mm]
        &= 2\pi \int_0^r (r^2-x^2) dx
\end{align*}}

{ x } 積分は簡単。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \int_0^r (r^2-x^2) dx
        &= \left[r^2 x - \frac{1}{3}x^3\right]_0^r \\[2mm]
        &= \frac{2}{3}r^3
\end{align*}}

結果をまとめると

  { \displaystyle V_3(r) = \frac{4}{3} \pi r^3 }