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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

高校数学で求める球の体積 :n次元

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回はn次元球

  { \displaystyle\begin{align*}
    B_n(r) = \left\{ (x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n) \in \textbf{R}^n \left| \sum_{k=1}^n x_k^2 \le r^2 \right. \right\}
\end{align*}}

の体積

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n(r) = \int_{B_n(r)} dx_1 dx_2 \cdots dx_n
\end{align*}}

を求めます。

{ a_n } の定義と { a_1 } の値

n次元球の体積 { V_n(r) }{ r^n } に比例するので、その比例定数を { a_n } とおきましょう*1

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n (r) = a_n r^n
\end{align*}}

{ a_n } が n の式として求まれば、{ V_n(r) } が求まります。 「高校数学で求める球の体積 :1次元」より { V_1(r) = 2r } なので

  { \displaystyle\begin{align*}
    a_1 = 2
\end{align*}}

{ a_n } の漸化式を求める

{ n \ge 2 } とします。 { B_n(r) }{ x_1 } 軸に垂直で球の中心から距離 { x } の「(n-1)次元平面」で切ると、半径 { \sqrt{r^2-x^2} } の「(n-1)次元球」になり、その「(n-1)次元体積」は

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_{n-1} (\sqrt{r^2-x^2}) = a_{n-1}\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^{n-1}
\end{align*}}

となります。 したがって、{ V_n(r) } は以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n (r)
        &= \int_{-r}^r V_{n-1} (\sqrt{r^2-x^2})dx \\
        &= \int_{-r}^r a_{n-1} \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^{n-1} dx \\
        &= 2a_{n-1} \int_0^r \left(r^2-x^2\right)^\frac{n-1}{2} dx
\end{align*}}

ここで積分について { x = r \sin\theta } とおいて積分変数を { x } から { \theta } に変換すると:

積分測度
{ dx = r \cos \theta d\theta }
積分範囲
{ \theta : 0 \rightarrow \frac{\pi}{2} }
被積分関数
{ \left(r^2-x^2\right)^\frac{n-1}{2} = r^{n-1}\cos^{n-1}\theta }

したがって

  { \displaystyle\begin{align*}
    \int_0^r \; \left(r^2-x^2\right)^\frac{n-1}{2} dx
        &= \int_0^\frac{\pi}{2} r\cos\theta \; r^{n-1} \cos^{n-1}\theta \; d\theta \\
        &= r^n \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n \theta \; d\theta \\
        &= J_n r^n
\end{align*}}

ここで「とある三角関数の積分公式」で定義した { J_n } を使いました。 以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n (r) = 2a_{n-1} J_n r^n
\end{align*}}

一方、{ V_n(r) = a_n r^n } なので、結局 { a_n } の漸化式は

  { \displaystyle\begin{align*}
    a_n = 2 a_{n-1} J_n
\end{align*}}

となります。

{ a_n } の一般項を求める

{ a_n } の初項と漸化式は以下のようになりました:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_n = 2 a_{n-1} J_n & (n \ge 2) \end{cases}
\end{align*}}

これを用いて、{ a_n } の一般項を求めましょう。 { n \ge 2 } のとき

  { \displaystyle\begin{align*}
    a_n
        &= 2a_{n-1}J_n \\
        &= 2^2a_{n-2}J_{n-1}J_n \\
        & \qquad\vdots \\
        &= 2^{n-1} a_1 J_2 J_3 \cdots J_n \\
        &= 2^n J_1 J_2 \cdots J_n & (\because a_1 = 2,\,J_1 = 1)
\end{align*}}

これは { n=1 } のときも成り立ちます。

{ n } が奇数の場合
{ J_n } に「とある三角関数の積分公式」で求めた表式を用いると

  { \displaystyle\begin{align*}
    J_1 J_2 \cdots J_n
        &= \tfrac{0!!}{1!!} \cdot \tfrac{1!!}{2!!}\tfrac{\pi}{2}\cdot \tfrac{2!!}{3!!}\cdot \tfrac{3!!}{4!!}\tfrac{\pi}{2}
            \cdots\tfrac{(n-2)!!}{(n-1)!!}\tfrac{\pi}{2}\cdot\tfrac{(n-1)!!}{n!!} \\
        &= \left(\frac{\pi}{2}\right)^\frac{n-1}{2}\frac{1}{n!!}
\end{align*}}

{ 0!!=1 } に注意。 よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    a_n
        &= \frac{2(2\pi)^\frac{n-1}{2}}{n!!} \\[2mm]
        &= \frac{2(2\pi)^{m - 1}}{(2m-1)!!} & (n = 2m-1)
\end{align*}}

n が偶数の場合
n が奇数の場合と同様にして

  { \displaystyle\begin{align*}
    J_1 J_2 \cdots J_n
        &= \tfrac{0!!}{1!!} \cdot \tfrac{1!!}{2!!}\tfrac{\pi}{2}\cdot \tfrac{2!!}{3!!}\cdot \tfrac{3!!}{4!!}\tfrac{\pi}{2}
            \cdots\tfrac{(n-2)!!}{(n-1)!!}\cdot\tfrac{(n-1)!!}{n!!}\tfrac{\pi}{2} \\
         &= \left(\frac{\pi}{2}\right)^\frac{n}{2}\frac{1}{n!!}
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    a_n
        &= \frac{(2\pi)^\frac{n}{2}}{n!!} \\[2mm]
        &= \frac{(2\pi)^m}{(2m)!!} & (n = 2m)
\end{align*}}

ここで { (2m)!! = 2^m m! } なので

  { \displaystyle\begin{align*}
    a_n  = \frac{\pi^m}{m!}
\end{align*}}

{ V_n (r) } の表式

以上の結果をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n(r)
        &= \begin{cases}
            \dfrac{2(2\pi)^\frac{n-1}{2} r^n}{n!!} & (n {\rm : odd}) \\[4mm]
            \dfrac{(2\pi)^\frac{n}{2}r^n}{n!!} & (n {\rm : even})
        \end{cases} \\[2mm]
        &= \begin{cases}
            \dfrac{2(2\pi)^{m - 1}r^{2m-1}}{(2m-1)!!} & (n=2m-1) \\[4mm]
            \dfrac{\pi^m r^{2m}}{m!} & (n=2m)
        \end{cases}
\end{align*}}

ただし { n,\,m = 1,\,2,\,3,\,\cdots }

具体的な表式

n に具体的な値を代入した表式を幾つか書き下しておきましょう。

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_1(r) &= 2r \\
    V_2(r) &= \pi r^2 \\
    V_3(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\
    V_4(r) &= \frac{1}{2} \pi^2 r^4 \\
    V_5(r) &= \frac{8}{15} \pi^2 r^5 \\
    V_6(r) &= \frac{1}{6} \pi^3 r^6 \\
    V_7(r) &= \frac{16}{105} \pi^3 r^7
\end{align*}}

*1: { a_n } はn次元単位球(半径1のn次元球)の体積と思ってもよい。