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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

大学数学で求める球の体積:3次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元球の体積。結果は「球の体積の公式」になります。

3次元球の体積

3次元球

  { \displaystyle\begin{align*}
    B_3(r) = \{(x,\,y) \in \mathbf{R}^3 | x^2 + y^2 + z^2 = r^2\}
\end{align*}}

の体積を求めます。

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_3(r) = \int_{B_3(r)}dxdydz
\end{align*}}

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 3次元」より、3次元極座標の体積要素は { r^2\sin\theta dr d\theta d\phi } となるので(積分範囲も注意)

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_3(r)
        &= \int_{B_3(r)} r^2 \sin\theta dr d\theta d\varphi \\
        &= \int_0^r r^2 dr \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi \\
        &= \frac{1}{3}r^3 \times 2 \times 2\pi \\
        &= \frac{4}{3}\pi r^3
\end{align*}}

まさしく「球の体積の公式」。

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