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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ベクトル解析の公式あれこれ ~微分編~

前回のベクトルの公式に続いて、今回はベクトル解析(ベクトルを微分積分する)の公式をいくつか紹介 & 証明。 今回扱うのは微分のみ。

参考

準備

 { f,\,g }スカラー場とし、 { \textbf{A},\,\textbf{B} } をベクトル場とする。 その他の記法や公式はこちらを参照。 また、微分演算子  { \nabla } (ナブラ)を

  { \displaystyle\begin{align*}
  \nabla &\equiv \begin{pmatrix}
    \frac{\partial}{\partial x_1} \\ \frac{\partial}{\partial x_2} \\ \frac{\partial}{\partial x_3}
  \end{pmatrix} &
  \partial_i &= [\nabla]_i = \frac{\partial}{\partial x_i}
\end{align*}}

で定義します。 また、スカラー { f }, ベクトル場  { \textbf{A} } に対して  { \textrm{grad}\,f,\,\textrm{div}\,\textbf{A},\,\textrm{rot}\,\textbf{A} } を以下で定義します:

  { \displaystyle\begin{align*}
  [\textrm{grad}\,f]_i &\equiv \partial_i f \qquad
  \textrm{grad} f = \begin{pmatrix}
    \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f}{\partial x_3}
  \end{pmatrix} \\[4mm]
  \textrm{div}\,\textbf{A}
    &\equiv \nabla \cdot \textbf{A} \\
    &= \partial_i A_i
    = \frac{\partial A_1}{\partial x_1} + \frac{\partial A_2}{\partial x_2} + \frac{\partial A_3}{\partial x_3} \\[4mm]
  \textrm{rot}\,\textbf{A}
    &\equiv \nabla \times \textbf{A} \\
    &= \varepsilon_{ijk}\partial_jA_k
    = \begin{pmatrix}
      \frac{\partial A_3}{\partial x_2} - \frac{\partial A_2}{\partial x_3} \\
      \frac{\partial A_1}{\partial x_3} - \frac{\partial A_3}{\partial x_1} \\
      \frac{\partial A_2}{\partial x_1} - \frac{\partial A_1}{\partial x_2}
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

1階微分

スカラー場の積の微分

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{grad}(fg)
    &= g\,\textrm{grad}\,f + f\,\textrm{grad}\,g
\end{align*}}

  { \displaystyle\begin{align*}
  [\textrm{grad}(fg)]_i
    &= \partial_i (fg) \\
    &= (\partial_i f) g + f (\partial_i g) \\
    &= [g\,\textrm{grad}\,f + f\,\textrm{grad}\,g]_i
\end{align*}}

スカラー場とベクトル場の積の微分

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{div}(f\textbf{A})
    &= (\textrm{grad}f)\cdot \textbf{A} + f \, \textrm{div}\,\textrm{A} \\
  \textrm{rot}(f\textbf{A})
    &= (\textrm{grad}\,f) \times \textrm{A} + f\,\textrm{rot}\,\textbf{A}
\end{align*}}

1つ目
  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{div}(f\textbf{A})
    &= \partial_i (fA_i) \\
    &= (\partial_i f)A_i + f\partial_i A_i \\
    &= (\textrm{grad}f)\cdot \textbf{A} + f \, \textrm{div}\,\textrm{A}
\end{align*}}

2つ目
  { \displaystyle\begin{align*}
  [\textrm{rot}(f\textbf{A})]_i
    &= \varepsilon_{ijk}\partial_j (fA_k) \\
    &= \varepsilon_{ijk}(\partial_j f)A_k + \varepsilon_{ijk}f\partial_jA_k \\
    &= [(\textrm{grad}\,f) \times \textbf{A} + f\,\textrm{rot}\,\textbf{A}]_i
\end{align*}}

ベクトル場の積の微分

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{grad}(\textbf{A}\cdot\textbf{B})
    &= (\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B} + (\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A}
      + \textbf{A}\times\textrm{rot}\,\textbf{B} + \textbf{B}\times\textrm{rot}\,\textbf{A} \\
  \textrm{div}(\textbf{A}\times\textbf{B})
    &= \textbf{B}\cdot\textrm{rot}\,\textbf{A} - \textbf{A}\cdot\textrm{rot}\,\textbf{B} \\
  \textrm{rot}(\textbf{A}\times\textbf{B})
    &= \textbf{A}\,(\textrm{div}\,\textbf{B}) - \textbf{B}\,(\textrm{div}\,\textbf{A})
      + (\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A} - (\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B}
\end{align*}}

1つ目
右辺を変形して左辺になることを示します:
  { \displaystyle\begin{align*}
  &[(\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B} + (\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A}
      + \textbf{A}\times\textrm{rot}\,\textbf{B} + \textbf{B}\times\textrm{rot}\,\textbf{A}]_i \\
    &\quad= A_j\partial_jB_i + B_j\partial_jA_i + \varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{k\ell m}\partial_\ell B_m
      + \varepsilon_{ijk}B_j\varepsilon_{k\ell m}\partial_\ell A_m \\
    &\quad= A_j\partial_jB_i + B_j\partial_jA_i 
      + \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m}(A_j\partial_\ell B_m + B_j\partial_\ell A_m) \\
    &\quad= A_j\partial_jB_i + B_j\partial_jA_i 
      + (\delta_{i\ell}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{j\ell})(A_j\partial_\ell B_m + B_j\partial_\ell A_m) \\
    &\quad= A_j\partial_jB_i + B_j\partial_jA_i 
      + A_j\partial_i B_j + B_j\partial_i A_j - A_j\partial_j B_i - B_j\partial_j A_i \\
    &\quad= A_j\partial_i B_j + B_j\partial_i A_j \\
    &\quad= \partial_i(A_jB_j) \\
    &\quad= [\textrm{grad}(\textbf{A}\cdot\textbf{B})]_i
\end{align*}}

2つ目
  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{div}(\textbf{A}\times\textbf{B})
    &= \partial_i(\varepsilon_{ijk}A_jB_k) \\
    &= \varepsilon_{ijk}(\partial_i A_j)B_k + \varepsilon_{ijk}A_j \partial_i B_k \\
    &= B_k \varepsilon_{kij}(\partial_i A_j) - A_j \varepsilon_{jik}\partial_i B_k \\
    &= \textbf{B} \cdot \textrm{rot}\,\textbf{A} - \textbf{A}\cdot \textrm{rot}\,\textbf{B}
\end{align*}}

3つ目
  { \displaystyle\begin{align*}
  [\textrm{rot}(\textbf{A}\times\textbf{B})]_i
    &= \varepsilon_{ijk}\partial_j(\varepsilon_{k\ell m}A_\ell B_m) \\
    &= \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m}\partial_j(A_\ell B_m) \\
    &= (\delta_{i\ell}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{j\ell})\left\{(\partial_j A_\ell) B_m + A_\ell \partial_j B_m\right\} \\
    &= (\partial_j A_i) B_j + A_i \partial_j B_j - (\partial_j A_j) B_i - A_j \partial_j B_i \\
    &= [(\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A} + \textbf{A}\,(\textrm{div}\,\textbf{B})
      - \textbf{B}\,(\textrm{div}\,\textbf{A}) - (\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B} ]_i \\
    &= [\textbf{A}\,(\textrm{div}\,\textbf{B}) - \textbf{B}\,(\textrm{div}\,\textbf{A})
      + (\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A} - (\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B} ]_i
\end{align*}}

2階微分

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textrm{rot}\,\textrm{rot}\,\textbf{A}
    &= \textrm{grad}\,(\textrm{div}\,\textbf{A}) - \triangle\,\textbf{A}
\end{align*}}

  { \displaystyle\begin{align*}
  [ \textrm{rot}\,\textrm{rot}\,\textbf{A}]_i
    &= \varepsilon_{ijk}\partial_j (\varepsilon_{k\ell m}\partial_\ell A_m) \\
    &= \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m} \partial_j \partial_\ell A_m \\
    &= (\delta_{i\ell}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{j\ell})\partial_j\partial_\ell A_m \\
    &= \partial_j\partial_i A_j - \partial_j\partial_j A_i \\
    &= [\textrm{grad}(\textrm{div}\,\textbf{A}) - \triangle \textbf{A}]_i
\end{align*}}

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