もしも高校で双曲線関数をやったなら (12) ：双曲線関数の積分

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ（目次）。　前回の微分に続き、今回は双曲線関数の積分を見ていきます。　微分の場合と同様に、基本は指数関数の積分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int e^x \;dx = e^x \end{align*}}$

です。　なお、積分定数は省略します。

${ \sinh x }$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int\sinh x \;dx &= \int \frac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\ &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ &= \cosh x \end{align*}}$

${ \cosh x }$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int\cosh x \;dx &= \int \frac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\ &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ &= \sinh x \end{align*}}$

${ \tanh x }$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int \tanh x \;dx &= \int \frac{\sinh x}{\cosh x} dx \\ &= \int \frac{dt}{t} & \left(t = \cosh x, \quad dt = \sinh x dx\right) \\ &= \log |t| \\ &= \log|\cosh x| \\ &= \log \cosh x \end{align*}}$

${ \cosh x }$ は常に正なので、最後の行では絶対値を落としてます。

${ \coth x }$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int \coth x \;dx &= \int \frac{\cosh x}{\sinh x} dx \\ &= \int \frac{dt}{t} & \left(t = \sinh x, \quad dt = \cosh x dx\right) \\ &= \log |t| \\ &= \log|\sinh x| \end{align*}}$

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int\sinh x \;dx &= \cosh x \\ \int\cosh x \;dx &= \sinh x \\ \int\tanh x \;dx &= \log \cosh x \\ \int\coth x \;dx &= \log|\sinh x| \end{align*}}$