もしも高校で双曲線関数をやったなら (9) ：双曲線関数の和積の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ（目次）。　今回は双曲線関数の和積の公式を見ていきます。　和積の公式は前回導いた積和の公式を逆に解いただけの公式です。　双曲線関数の場合も三角関数の場合と同様です。　積和の公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh x \cosh y = \frac{1}{2}\big\{\sinh(x+y) + \sinh(x-y)\big\} \end{align*}}$

に対して三角関数の場合に導入した変数 ${ \alpha,\,\beta }$ を用いると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh \frac{\alpha + \beta}{2} \cosh \frac{\alpha - \beta}{2} &= \frac{1}{2}\big\{\sinh\alpha + \sinh\beta\big\} \\ \therefore\,\sinh\alpha + \sinh\beta &= 2\sinh \frac{\alpha + \beta}{2} \cosh \frac{\alpha - \beta}{2} \end{align*}}$

同様にして他の和積の公式も導けます。

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh\alpha + \sinh\beta &= 2\sinh \frac{\alpha + \beta}{2} \cosh \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \sinh\alpha - \sinh\beta &= 2\cosh \frac{\alpha + \beta}{2} \sinh \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \cosh\alpha + \cosh\beta &= 2\cosh \frac{\alpha + \beta}{2} \cosh \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \cosh\alpha - \cosh\beta &= 2\sinh \frac{\alpha + \beta}{2} \sinh \frac{\alpha - \beta}{2} \end{align*}}$