倭算数理研究所

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もしも高校で双曲線関数をやったなら (3) : 双曲線関数の加法定理

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は三角関数でも双曲線関数でも重要な定理である加法定理を見ていきます。

三角関数の場合はこちら

双曲線関数の加法定理

では、三角関数の加法定理を踏まえて双曲線関数の加法定理を導いてみましょう。 指数関数と双曲線関数の間には以下の関係があるのでした:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases}
        e^{x} &= \cosh x + \sinh x \\
        e^{-x} &= \cosh x - \sinh x
    \end{cases}
\end{align*}}

これを用いて、{ \sinh(x+y),\,\cosh(x+y),\,\tanh(x+y) } を定義から計算すると、

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh(x + y)
        &= \frac{e^{(x + y)} - e^{-(x + y)}}{2} \\
        &= \frac{e^{x}e^{y} - e^{-x}e^{-y}}{2} \\
        &= {\scriptsize \frac{(\cosh x + \sinh x)(\cosh y + \sinh y) - (\cosh x - \sinh x)(\cosh y - \sinh y)}{2}} \\
        &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\[4mm]
    \cosh(x + y) &= \frac{e^{(x + y)} + e^{-(x + y)}}{2} \\
        &= \frac{e^{x}e^{y} + e^{-x}e^{-y}}{2} \\
        &= {\scriptsize \frac{(\cosh x + \sinh x)(\cosh y + \sinh y) + (\cosh x - \sinh x)(\cosh y - \sinh y)}{2}} \\
        &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\[4mm]
    \tanh(x + y)
        &= \frac{\sinh(x + y)}{\cosh(x + y)} \\
        &= \frac{\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y}{\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y} \\
        &= \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}
\end{align*}}

となります。 { \cosh } の加法定理は { \cos } の加法定理と違って符号が + であることに注意。 こういうのが一番間違いやすいですね。

公式まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh(x + y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\
    \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\[4mm]
    \cosh(x + y) &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\
    \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\[4mm]
    \tanh(x + y) &= \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \\
    \tanh(x - y) &= \frac{\tanh x - \tanh y}{1 - \tanh x \tanh y}
\end{align*}}

ホントに三角関数の場合と同じような公式ですね。

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)