倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ベッセル関数(円柱関数)の公式あれこれ

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 以前の記事でベッセル関数や円柱関数の定義をみましたが、今回は後で使う(かも知れない)公式をいくつか導いていきます。 大半は微分の公式です。

【この記事の内容】

定義

ベッセル関数  { J_\nu(x) }ノイマン関数  { N_\nu(x) }、ハンケル関数  { H_\nu^{(1)}(x),\,H_\nu^{(2)}(x) } は以下のように定義されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  J_\nu(x)
    &= \left(\frac{x}{2}\right)^\nu\sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!\;\Gamma(\nu+p+1)}
      \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \\
  N_\nu(x)
    &= \frac{J_\nu(x)\cos\nu\pi - J_{-\nu}(x)}{\sin\nu\pi} \\[2mm]
  H_\nu^{(1)}(x) &= J_\nu(x) + i N_\nu(x) \\[2mm]
  H_\nu^{(2)}(x) &= J_\nu(x) - i N_\nu(x)
\end{align*}}

準備

ベッセル関数の微分公式は級数の定義をそのまま微分すれば出るんですが、少し遠回りして以下の微分を計算しておきます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{d}{dx}\Big[x^\nu J_\nu(ax)\Big],\quad
  \frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}J_\nu(ax)\Big]
\end{align*}}

ただし  { a } は定数です。 導出は地道に計算すればできます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{d}{dx}\Big[x^\nu J_\nu(ax)\Big]
    &= \left(\frac{2}{a}\right)^\nu\frac{d}{dx}\left[\sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}
      {p!\;\Gamma(\nu+p+1)}\left(\frac{ax}{2}\right)^{2\nu+2p}\right] \\
    &= a\left(\frac{2}{a}\right)^\nu\sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}
      {p!\;\Gamma(\nu+p)}\left(\frac{ax}{2}\right)^{2\nu+2p-1} \\
    &= ax^\nu J_{\nu-1}(ax) \\[4mm]
  \frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}J_\nu(ax)\Big]
    &= \frac{1}{2^\nu}\frac{d}{dx}\left[\sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!\;\Gamma(\nu+p+1)}
      \left(\frac{ax}{2}\right)^{2p}\right] \\
    &= \frac{a}{2^\nu}\sum_{p=1}^\infty \frac{(-1)^p}{(p-1)!\;\Gamma(\nu+p+1)}\left(\frac{ax}{2}\right)^{2p-1} \\
    &= -\frac{a}{2^\nu}\sum_{p'=0}^\infty \frac{(-1)^{p'}}{p'!\;\Gamma(\nu+p'+2)}\left(\frac{ax}{2}\right)^{2p'+1} 
      \qquad(p' = p-1) \\
    &= -ax^{-\nu} J_{\nu+1}(ax)
\end{align*}}

また、これらの結果を使ってノイマン関数についても同じ公式が成り立つことを示せます。 まず1つ目の公式に対応するもの:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{d}{dx}\Big[x^\nu N_\nu(ax)\Big]
    &= \frac{1}{\sin\nu\pi}\Big\{\frac{d}{dx}\Big[x^\nu J_\nu(ax)\Big]\cos\nu\pi
      - \frac{d}{dx}\Big[x^\nu J_{-\nu}(ax)\Big]\Big\} \\
    &= \frac{1}{\sin\nu\pi}\Big\{ax^\nu J_{\nu-1}(ax)\cos\nu\pi + ax^\nu J_{-\nu+1}(ax)\Big\} \\
    &= ax^\nu\frac{J_{\nu+1}(ax)\cos\nu\pi + J_{\nu+1}(ax)}{\sin\nu\pi} \\
    &= ax^\nu N_{\nu-1}(x)
\end{align*}}

ただし

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin(\nu-1)\pi &= -\sin\nu\pi, &
  \cos(\nu-1)\pi &= -\cos\nu\pi
\end{align*}}

を使いました。 同様にして、2つ目の公式に対応するものは

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}N_\nu(ax)\Big]
    &= \frac{1}{\sin\nu\pi}\Big\{\frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}J_\nu(ax)\Big]\cos\nu\pi
      - \frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}J_{-\nu}(ax)\Big]\Big\} \\
    &= \frac{1}{\sin\nu\pi}\Big\{-ax^{-\nu} J_{\nu+1}(ax)\cos\nu\pi - ax^{-\nu} J_{-\nu-1}(ax)\Big\} \\
    &= -ax^{-\nu}\frac{J_{\nu+1}(ax)\cos\nu\pi + J_{-\nu-1}(ax)}{\sin\nu\pi} \\
    &= -ax^{-\nu} N_{\nu+1}(x)
\end{align*}}

ただし

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin(\nu+1)\pi &= -\sin\nu\pi, &
  \cos(\nu+1)\pi &= -\cos\nu\pi
\end{align*}}

を使いました。 ベッセル関数とノイマン関数に対して(線型演算子についての)同じ公式が成り立つので、ハンケル関数についても同じ公式が成り立ちます。 よって、  { Z_\nu(x) } を任意の円柱関数(ベッセル関数、ノイマン関数、ハンケル関数)として

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{d}{dx}\Big[x^\nu Z_\nu(ax)\Big] &= ax^\nu Z_{\nu-1}(ax) \\
  \frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}Z_\nu(ax)\Big] &= -ax^{-\nu} Z_{\nu+1}(ax)
\end{align*}}

が成り立ちます。 特に  { a = 1 } として

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{d}{dx}\Big[x^\nu Z_\nu(x)\Big] &= x^\nu Z_{\nu-1}(x) &\cdots (1) \\
  \frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}Z_\nu(x)\Big] &= -x^{-\nu} Z_{\nu+1}(x) &\cdots (2)
\end{align*}}

 { a } が1でない場合は変形されたベッセル関数に対する公式や物理の問題で使うと思いますが、この記事ではこれ以降  { a = 1 } として (1), (2) 式を使って他の公式を導いていきます。

1階微分

(1) 式の左辺を積の微分の公式を使って変形すると(プライム (') で  { x } 微分を表すことにして)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{d}{dx}\Big[x^\nu Z_\nu(x)\Big]
    &= \nu x^{\nu-1} Z_\nu(x) + x^\nu Z_\nu'(x)
\end{align*}}

となるので、(1) 式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  x^\nu Z_\nu'(x) &= x^\nu Z_{\nu-1}(x) - \nu x^{\nu-1} Z_\nu(x) \\
  \therefore\, Z_\nu'(x) &= Z_{\nu-1}(x) - \frac{\nu}{x} Z_\nu(x)
\end{align*}}

同様にして (2) 式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_\nu'(x) &= \frac{\nu}{x} Z_\nu(x) - Z_{\nu+1}(x)
\end{align*}}

を得ます。 まとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_\nu'(x) &= Z_{\nu-1}(x) - \frac{\nu}{x}Z_\nu(x) &\cdots(3) \\[2mm]
  Z_\nu'(x) &= \frac{\nu}{x} Z_\nu(x) - Z_{\nu+1}(x) &\cdots(4)
\end{align*}}

また (3), (4) 式の辺々和をとって  { \frac{1}{2} } をかけると

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_\nu'(x) = \frac{1}{2}\Big\{Z_{\nu-1}(x) - Z_{\nu+1}(x)\Big\}
\end{align*}}

も得られます。

特に簡単になる場合として、(4) 式で  { \nu = 0 } として

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_0'(x) = -Z_1(x) \qquad\cdots(5)
\end{align*}}

となります。

高階微分

(2) 式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  x^\nu\frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}Z_\nu(x)\Big] &= -Z_{\nu+1}(x)
\end{align*}}

が成り立つので、演算子  { \mathcal{D}_\nu }

  { \displaystyle\begin{align*}
  \mathcal{D}_\nu f(x) = x^\nu\frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}f(x)\Big]
\end{align*}}

と定義すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \mathcal{D}_\nu Z_\nu(x) &= -Z_{\nu+1}(x) \\
  \mathcal{D}_{\nu+1}\mathcal{D}_\nu Z_\nu(x) &= Z_{\nu+2}(x) \\
    &\vdots \\
  \mathcal{D}_{\nu+n-1}\mathcal{D}_{\nu+n-2}\cdots\mathcal{D}_\nu Z_\nu(x) &= (-1)^n Z_{\nu+n}(x)
\end{align*}}

となります。 ここで

  { \displaystyle\begin{align*}
  \mathcal{D}_{\nu+n-1}\mathcal{D}_{\nu+n-2}\cdots\mathcal{D}_\nu
    &=x^{\nu+n-1}\frac{d}{dx}x^{-\nu-n+1}\cdot x^{\nu+n-2}\frac{d}{dx}x^{-\nu-n+2}\cdots x^\nu\frac{d}{dx}x^{-\nu} \\
    &= x^{\nu+n}\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n
\end{align*}}

なので、結局

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\Big[x^{-\nu}Z_\nu(x)\Big] = (-1)^n x^{-\nu-n} Z_{\nu+n}(x)
\end{align*}}

を得ます。 同様にして (1) 式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\Big[x^\nu Z_\nu(x)\Big] = x^{\nu-n} Z_{\nu-n}(x)
\end{align*}}

を得ます。

また、(5) 式  { Z_0'(x) = -Z_1(x) } の両辺を  { n }微分して

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_1^{(n)}(x) &= -Z_0^{(n+1)}(x)
\end{align*}}

シュレーミルヒの公式
 { Schl\ddot{o}milch } の公式。 前節で示した公式 { Z_\nu'(x) = \frac{1}{2}\Big\{Z_{\nu-1}(x) - Z_{\nu+1}(x)\Big\} } の両辺を  { k-1 }微分して

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_\nu^{(k)}(x) = \frac{1}{2}\Big\{Z_{\nu-1}^{(k-1)}(x) - Z_{\nu+1}^{(k-1)}(x)\Big\}
\end{align*}}

この公式を繰り返し使って

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_\nu^{(k)}(x)
    &= \frac{1}{2}\Big\{Z_{\nu-1}^{(k-1)}(x) - Z_{\nu+1}^{(k-1)}(x)\Big\} \\
    &= \frac{1}{4}\Big\{Z_{\nu-2}^{(k-2)}(x) - 2Z_{\nu}^{(k-2)}(x) + Z_{\nu+2}^{(k-2)}(x)\Big\} \\
    &= \frac{1}{8}\Big\{Z_{\nu-3}^{(k-3)}(x) - 3Z_{\nu-1}^{(k-3)}(x) + 3Z_{\nu+1}^{(k-3)}(x) - Z_{\nu+3}^{(k-3)}(x)\Big\} \\
    & \qquad\vdots \\
    &= \frac{1}{2^k}\left\{Z_{\nu-k}(x) - kZ_{\nu-k+2} + \tfrac{k(k-1)}{2}Z_{\nu-k+4} + \cdots + (-1)^kZ_{\nu+k}(x)\right\} \\
    &= \frac{1}{2^k}\sum_{r=0}^n (-1)^r \binom{k}{r} Z_{\nu-k+2r}(x)
\end{align*}}

ただし  { \binom{k}{r} = {}_kC_r = \frac{k!}{(k-r)!r!} } は二項係数。

漸化式と連分数展開

漸化式
(3), (4) 式の辺々の差をとって微分を含む項を消去すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_{\nu-1}(x) + Z_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x} Z_\nu(x)
\end{align*}}

連分数表示
上記の漸化式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{Z_{\nu-1}(x)}{Z_\nu(x)} + \frac{Z_{\nu+1}(x)}{Z_\nu(x)} = \frac{2\nu}{x} \qquad\cdots (6)\\
\end{align*}}

ここで  { \zeta_\nu^{(-)}(x) = \frac{Z_{\nu-1}(x)}{Z_\nu(x)} } と定義すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \zeta_\nu^{(-)}(x) = \frac{2\nu}{x} - \frac{1}{\zeta_{\nu+1}^{(-)}(x)}
\end{align*}}

となるので、これを繰り返し使って

  { \displaystyle\begin{align*}
  \zeta_\nu^{(-)}(x)
    &= \frac{2\nu}{x} - \cfrac{1}{\dfrac{2(\nu+1)}{x} - \cfrac{1}{\zeta_{\nu+2}^{(-)}(x)}} \\[2mm]
    &= \frac{2\nu}{x} - \cfrac{1}{\dfrac{2(\nu+1)}{x}
      - \cfrac{1}{\dfrac{2(\nu+2)}{x} - \cfrac{1}{\zeta_{\nu+3}^{(-)}(x)}}} \\[2mm]
    &= \frac{2\nu}{x} - \frac{1}{\frac{2(\nu+1)}{x} - {}}\,\frac{1}{\frac{2(\nu+2)}{x} - {}}\,
      \frac{1}{\frac{2(\nu+3)}{x} - {}}\,\frac{1}{\frac{2(\nu+4)}{x} - {}} \cdots
\end{align*}}

また、 { \zeta_\nu^{(+)}(x) = \frac{Z_{\nu+1}(x)}{Z_\nu(x)} } とおくと (6) 式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\zeta_{\nu-1}^{(+)}(x)}
    &= \frac{2\nu}{x} - \zeta_\nu^{(+)}(x) \\
    &= \frac{2\nu - x\zeta_\nu^{(+)}(x)}{x} \\[2mm]
  \therefore\,\zeta_\nu^{(+)}(x) &= \frac{x}{2(\nu+1) - x\zeta_{\nu+1}^{(+)}(x)}
\end{align*}}

これを繰り返し使って

  { \displaystyle\begin{align*}
  \zeta_\nu^{(+)}(x)
    &= \cfrac{x}{2(\nu+1) - \cfrac{x^2}{2(\nu+2) - x\zeta_{\nu+3}^{(+)}(x)}} \\[2mm]
    &= \cfrac{x}{2(\nu+1) - \cfrac{x^2}{2(\nu+2) - \cfrac{x^2}{2(\nu+3) - x\zeta_{\nu+3}^{(+)}(x)}}} \\
    &\qquad\vdots\\
    &= \frac{x}{2(\nu+1) - {}}\,\frac{x^2}{2(\nu+2) - {}}\,\frac{x^2}{2(\nu+3) - {}}\,\frac{x^2}{2(\nu+4) - {}} \cdots
\end{align*}}

積の冪級数展開

ここでの公式はベッセル関数  { J_\nu(x) } についてのみ成り立ちます。 ベッセル関数の定義の級数より

  { \displaystyle\begin{align*}
  J_\mu(x)J_\nu(x)
    &= \sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^\infty\frac{(-1)^p}{p!\;\Gamma(\mu+p+1)}
      \frac{(-1)^q}{q!\;\Gamma(\nu+q+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\mu+\nu+2p+2q}
\end{align*}}

ここで「指数関数の冪級数から指数法則を導く」で行った二重和の書き換えを行うと( { n = p+q } として)

  { \displaystyle\begin{align*}
  J_\mu(x)J_\nu(x)
    &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\sum_{p=0}^n \tfrac{1}{p!(n-p)!\;\Gamma(\mu+p+1)\Gamma(\nu+n-p+1)}\right)
      \left(\frac{x}{2}\right)^{\mu+\nu+2n} \quad\cdots(7)
\end{align*}}

ここで (7) 式中に現れているガンマ関数の逆数について

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\Gamma(\mu+p+1)}
    &= \frac{1}{\Gamma(\mu+n+1)}\frac{\Gamma(\mu+n+1)}{\Gamma(\mu+p+1)} \\
    &= \frac{1}{\Gamma(\mu+n+1)}\left[\frac{d^{n-p}}{dx^{n-p}}(1+x)^{\mu+n}\right]_{x=0} \\[4mm]
  \frac{1}{\Gamma(\nu+n-p+1)}
    &= \frac{1}{\Gamma(\nu+n+1)}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu+n-p+1)} \\
    &= \frac{1}{\Gamma(\nu+n+1)}\left[\frac{d^p}{dx^p}(1+x)^{\nu+n}\right]_{x=0}
\end{align*}}

と変形できるので(ここでやっていることは二項係数の第1引数を実数に拡張しているようなことです。 二項係数を  { (1+x)^\mu } の展開係数として定義するのは『二項係数の加法公式を導く』参照)、(7) 式の内側の和は以下のようになります( { \binom{n}{p} = {}_nC_p = \frac{n!}{(n-p)!p!} } は二項係数):

  { \displaystyle\begin{align*}
  &\sum_{p=0}^n \frac{1}{p!(n-p)!\;\Gamma(\mu+p+1)\Gamma(\nu+n-p+1)} \\
    &\quad= \tfrac{1}{\Gamma(\mu+n+1)\Gamma(\nu+n+1)}\sum_{p=0}^n\frac{1}{p!(n-p)!}
      \left[\frac{d^{n-p}}{dx^{n-p}}(1+x)^{\mu+n}\right]_{x=0}
      \left[\frac{d^p}{dx^p}(1+x)^{\nu+n}\right]_{x=0} \\
    &\quad= \tfrac{1}{n!\Gamma(\mu+n+1)\Gamma(\nu+n+1)}\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}
      \left[\frac{d^{n-p}}{dx^{n-p}}(1+x)^{\mu+n}\right]_{x=0}
      \left[\frac{d^p}{dx^p}(1+x)^{\nu+n}\right]_{x=0} \\
    &\quad= \tfrac{1}{n!\Gamma(\mu+n+1)\Gamma(\nu+n+1)}
      \left[\frac{d^n}{dx^n}(1+x)^{\mu+\nu+2n}\right]_{x=0} \\
    &\quad= \dfrac{\Gamma(\mu+\nu+2n+1)}{n!\;\Gamma(\mu+n+1)\Gamma(\nu+n+1)\Gamma(\mu+\nu+n+1)}
\end{align*}}

ただし、最後から2つ目の式から分かるように、この式は  { n=0 } { \mu+\nu } が負の整数のとき  { \frac{1}{\Gamma(\mu+1)\Gamma(\nu+1)} } となります(例えば  { \mu+\nu=-1 } のとき  { \frac{\Gamma(2n)}{\Gamma(n)} } という因子が出てきますが、ガンマ関数を含む極限  { \frac{\Gamma(2x)}{\Gamma(x)} \rightarrow \frac{1}{2} \, (x\rightarrow0) } は使いません)。 これを (7) 式に代入すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  J_\mu(x)J_\nu(x)
    = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\Gamma(\mu+\nu+2n+1)}
      {n!\;\Gamma(\mu+n+1)\Gamma(\nu+n+1)\Gamma(\mu+\nu+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\mu+\nu+2n}
\end{align*}}

を得ます。 特に  { m }自然数として  { \mu=\nu=m } のとき

  { \displaystyle\begin{align*}
  J_m^2(x)
    &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2m+2n)!}
      {n!\;\left\{(m+n)!\right\}^2(2m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2(m+n)} \\[2mm]
    &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2m+2n-1)!!}{n!(2m+n)!(2m+2n)!!}x^{2(m+n)}
\end{align*}}

まとめ

 { Z_\nu(x) } を円柱関数、 { a } を定数として

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{d}{dx}\Big[x^\nu Z_\nu(ax)\Big] &= ax^\nu Z_{\nu-1}(ax) \\
  \frac{d}{dx}\Big[x^{-\nu}Z_\nu(ax)\Big] &= -ax^{-\nu} Z_{\nu+1}(ax)
\end{align*}}

1階微分

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_\nu'(x)
    &= Z_{\nu-1}(x) - \frac{\nu}{x}Z_\nu(x) \\
    &= \frac{\nu}{x} Z_\nu(x) - Z_{\nu+1}(x) \\
    &= \frac{1}{2}\Big\{Z_{\nu-1}(x) - Z_{\nu+1}(x)\Big\}
\end{align*}}

特に

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_0'(x) &= -Z_1(x)
\end{align*}}

高階微分

  { \displaystyle\begin{align*}
  \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\Big[x^\nu Z_\nu(x)\Big] &= x^{\nu-n} Z_{\nu-n}(x) \\[2mm]
  \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\Big[x^{-\nu}Z_\nu(x)\Big] &= (-1)^n x^{-\nu-n} Z_{\nu+n}(x)
\end{align*}}

特に

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_1^{(n)}(x) &= -Z_0^{(n+1)}(x)
\end{align*}}

シュレーミルヒ ( { Schl\ddot{o}milch }) の公式

  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_\nu^{(k)}(x) = \frac{1}{2^k}\sum_{r=0}^n (-1)^r \binom{k}{r} Z_{\nu-k+2r}(x)
\end{align*}}

ただし  { \binom{k}{r} = {}_kC_r = \frac{k!}{(k-r)!r!} } は二項係数。

漸化式
  { \displaystyle\begin{align*}
  Z_{\nu-1}(x) + Z_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x} Z_\nu(x)
\end{align*}}

連分数表示
  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{Z_{\nu-1}(x)}{Z_\nu(x)}
    &= \frac{2\nu}{x} - \frac{1}{\frac{2(\nu+1)}{x} - {}}\,\frac{1}{\frac{2(\nu+2)}{x} - {}}\,
      \frac{1}{\frac{2(\nu+3)}{x} - {}}\,\frac{1}{\frac{2(\nu+4)}{x} - {}} \cdots \\[2mm]
  \frac{Z_{\nu+1}(x)}{Z_\nu(x)} &= \frac{x}{2(\nu+1) - {}}\,\frac{x^2}{2(\nu+2) - {}}\,
    \frac{x^2}{2(\nu+3) - {}}\,\frac{x^2}{2(\nu+4) - {}} \cdots
\end{align*}}

ベッセル関数の積の冪級数展開

  { \displaystyle\begin{align*}
  J_\mu(x)J_\nu(x)
    &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\Gamma(\mu+\nu+2n+1)}
      {n!\Gamma(\mu+n+1)\Gamma(\nu+n+1)\Gamma(\mu+\nu+n+1)}
      \left(\frac{x}{2}\right)^{\mu+\nu+2n} \\[2mm]
    &= \frac{1}{\Gamma(\mu+1)\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\mu+\nu} \\
      &\qquad+ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\Gamma(\mu+\nu+2n+1)}
        {n!\Gamma(\mu+n+1)\Gamma(\nu+n+1)\Gamma(\mu+\nu+n+1)}
        \left(\frac{x}{2}\right)^{\mu+\nu+2n} \\[4mm]
  J_m^2(x)
    &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2m+2n-1)!!}{n!(2m+n)!(2m+2n)!!}x^{2(m+n)}
\end{align*}}