数列 nr^{n-1} の和 - 倭算数理研究所

一般項 ${ a_n }$ が

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a_n = n r^{n-1} \end{align*} }$

（ただし ${ r \ne 1 }$ ）で与えられる数列を考え、その n 項までの和を ${ S_n }$ とします：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_n = \sum_{k=1}^n kr^{k-1} \end{align*} }$

以下で、この和を計算します。

方法その1

${ S_n }$ を、等比級数の公式を導いた方法で計算します。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{matrix} & S_n &=& 1 &+\quad 2r &+\quad 3r^2 &+\quad \cdots &+\qquad\; nr^{n-1}\quad\, & \\ -) & rS_n &=& &\qquad r &+\quad 2r^2 &+\quad \cdots &+\quad (n-1)r^{n-1} &+\quad nr^n \\[2mm] \hline \\ & (1-r)S_n &=& 1 &+\quad r &+\quad r^2 &+\quad \cdots &+\quad r^{n-1} &-\quad nr^n \end{matrix} \end{align*} }$

よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (1-r)S_n &= \sum_{k=1}^n r^{k-1} - nr^n \\[4mm] &= \frac{1-r^n}{1-r} - nr^n \\[4mm] &= \frac{1-(n+1)r^n + nr^{n+1}}{1-r} \end{align*} }$

したがって、 ${ S_n }$ は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_n &= \frac{1-(n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2} \end{align*} }$

方法その2

次は微分を使ってガリガリ計算する方法。　まず、 ${ r }$ を変数と思って計算すると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{d}{dr}\left(\sum_{k=1}^n r^k\right) &= \sum_{k=1}^n\frac{d}{dr}r^k \\ &= \sum_{k=1}^n kr^{k-1} \\ &= S_n \end{align*} }$

を得ます。　ここで、等比級数の公式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=1}^n r^k = \frac{r(1-r^n)}{1-r} = \frac{r-r^{n+1}}{1-r} \end{align*} }$

を用いると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} S_n &= \frac{d}{dr}\left(\frac{r-r^{n+1}}{1-r}\right) \\ &= \frac{\left\{1 - (n+1)r^n\right\}(1-r) + (r-r^{n+1})}{(1-r)^2} \\ &= \frac{1 - (n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2} \end{align*} }$

となり、方法その1と同じ結果を得ます。　めでたし、めでたし。