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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

もしも高校で双曲線関数をやったなら (10) : 双曲線関数 tanh の加法定理 再考

初等関数 高校数学

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 以前双曲線関数の加法定理を導きましたが、{ \tanh } の加法定理は積和の公式を使うと別の形にまとめることができます。 三角関数の場合と同様にして

  { \displaystyle\begin{align*}
    \tanh (x + y)
        &= \frac{\sinh(x + y)}{\cosh(x + y)} \\
        &= \frac{\sinh(x + y)\cosh(x - y)}{\cosh(x + y)\cosh(x - y)} \\
        &= \frac{\frac{1}{2}\left(\sinh 2x + \sinh 2y \right)}{\frac{1}{2}\left(\cosh 2x + \cosh 2y \right)} \\
        &= \frac{\sinh 2x + \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y}
\end{align*}}

これまた三角関数の場合と同様に、{ y \rightarrow -y } の置き換えをして負の引数の公式を用いると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \tanh (x - y) = \frac{\sinh 2x - \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y }
\end{align*}}

となります。

公式まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \tanh (x + y) &= \frac{\sinh 2x + \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y } \\[2mm]
    \tanh (x - y) &= \frac{\sinh 2x - \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y }
\end{align*}}

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ

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