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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の冪級数展開

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は高校数学の範囲を超えていますが、三角関数の冪級数展開(オイラー展開)の表式を導きます。 ここでは冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。

指数関数の冪級数展開

指数関数の冪級数展開は以下で与えられます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\end{align*}}

正弦関数 { \sin x } の冪級数展開

正弦関数は指数関数を用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}
\end{align*}}

と表されるので

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin x &= \frac{1}{2i}\sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{(ix)^n}{n!} - \frac{(-ix)^n}{n!}\right\} \\[2mm]
              &= \frac{1}{2i}\sum_{n=0}^\infty\Big\{1 - (-1)^n\Big\}\frac{i^nx^n}{n!} \\[2mm]
              &= \sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{1 - (-1)^n}{2}\frac{i^{n-1}x^n}{n!}\right\}
\end{align*}}

ここで

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{1-(-1)^n}{2}
         = \begin{cases}
             0 & (n \,{\rm : even}) \\
             1 & (n \,{\rm : odd})
        \end{cases}
\end{align*}}

より、{ n = 2m + 1 }{ m }自然数*1)として

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin x &= \sum_{m=0}^\infty\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}i^{2m} \\
              &= \sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!}
\end{align*}}

余弦関数 { \cos x } の冪級数展開

余弦関数は指数関数を用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}
\end{align*}}

と表されるので

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos x &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{(ix)^n}{n!} + \frac{(-ix)^n}{n!}\right\} \\[2mm]
               &= \sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{1 + (-1)^n}{2}\frac{i^nx^n}{n!}\right\}
\end{align*}}

ここで { n = 2m }{ m }自然数)として

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos x &= \sum_{m=0}^\infty\frac{i^{2m}x^{2m}}{(2m)!} \\
               &= \sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!}
\end{align*}}

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!} \\
    \cos x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!}
\end{align*}}

ちなみに、{ \tan x } の冪級数展開はベルヌ-イ数を使って行いますが、もうちょっと複雑です。 詳細は『ベルヌーイ数に関連する冪級数展開』参照。。

級数の最初の数項

級数を x の5次まで書き下すと以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    e^x
        &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &
        &= 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \\
    \sin x
        &= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!} &
        &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\
    \cos x
        &= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!} &
        &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
\end{align*}}

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*1:0 は自然数に含めてます。