複素変数の双曲線関数 - 倭算数理研究所

もう少し双曲線関数の公式シリーズ（目次）。　前回、複素変数の三角関数の表式を導きましたが、双曲線関数についても同様の表式を導いてみましょう。　つまり ${ x,\,y }$ を実数、 ${ i }$ を虚数単位として、 ${ \sinh(x + iy),\, \cosh(x + iy) }$ などを ${ \sinh x,\, \cosh y }$ などで表してみます。

双曲線関数の場合も、以前の記事で導いた純虚数の引数に関する公式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sinh ix &= i\sin x \\ \cosh ix &= \cos x \end{align*}}$

によって、自然と三角関数が現れてきます。

${ \sinh(x + iy),\,\cosh(x + iy) }$

まずは sinh, cosh の表式。　これらは双曲線関数の加法定理を使えばすぐに導けます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sinh(x+iy) &= \sinh x \cosh iy + \cosh x \sinh iy \\ &= \sinh x \cos y + i \cosh x \sin y \\[2mm] \cosh(x + iy) &= \cosh x \cosh iy + \sinh x \sinh iy \\ &= \cosh x \cos y + i \sinh x \sin y \end{align*}}$

三角関数の場合と同様に、（ ${ x,\,y }$ が実数なら）実部と虚部が別れた形になってます。

${ \tanh(x + iy),\, \coth(x + iy) }$

tanh の表式を導くには、「もしも高校で双曲線関数をやったなら (10) ：双曲線関数 tanh の加法定理　再考」で導いた表式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tanh(x + y) = \frac{\sinh 2x + \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y} \end{align*}}$

を用います。　双曲線関数の純虚数の引数に関する公式も使うと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \tanh(x + iy) &= \frac{\sinh 2x + \sinh 2iy}{\cosh 2x + \cosh 2iy} \\[2mm] &= \frac{\sinh 2x + i\sin 2y}{\cosh 2x + \cos 2y} \end{align*}}$

となり、実部と虚部が分離された形にできました。　 ${ \coth(x + iy) }$ についても同様に導けて

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \coth(x + iy) &= \frac{\sinh 2x - \sinh 2iy}{\cosh 2x - \cosh 2iy} \\[2mm] &= \frac{\sinh 2x - i\sin 2y}{\cosh 2x - \cos 2y} \end{align*}}$

を得ます。

公式まとめ

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sinh(x+iy) &= \sinh x \cos y + i \cosh x \sin y \\[2mm] \cosh(x + iy) &= \cosh x \cos y + i \sinh x \sin y \\[2mm] \tanh(x + iy) &= \frac{\sinh 2x + i\sin 2y}{\cosh 2x + \cos 2y} \\[2mm] \coth(x + iy) &= \frac{\sinh 2x - i\sin 2y}{\cosh 2x - \cos 2y} \end{align*}}$

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