Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ（目次）。 今回はメルセンヌ数（Mersenne Number）が素数であるかどうかを判定するリュカ・テスト (Lucas–Lehmer primality test) を見ていきます。メルセンヌ数とは を素数とし…

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ（目次）。 前回、素数列を生成するアルゴリズムを見ましたが、今回は素因数分解 (factorization into primes) をするアルゴリズムを見ていきます。参考 『Javaによるアルゴリズ…

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ（目次）。 ちょっと別用で素数 (prime number) を生成するコードを書いたので、こちらのブログで整理しておきます。 別用記事で見たように Int や Long に対してなら2行で書けま…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 今回は、ケプラー問題でエネルギーや角運動量以外に保存される Laplace - Runge - Lenz ベクトル（以下、ラプラス・ベクトル）の2次元版を見ていきます。『ケプラー問題のある保存ベクト…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 ケプラー問題ではエネルギーと角運動量以外に保存されるベクトルが存在することが知られています。 今回は簡単にこのベクトルについて見ていきましょう。 このベクトルを使うと比較的簡単…

こういう系の記事を書くときは大体機を逸している気がしますが、DVD/Blu-ray の発売とか地上波放送とかあるだろうから書いときます。 ちなみに、拙者は『君の名は。』を観てないので劇中の設定とか全く分からず書いてます。前置き的記事はこちら。 jin115.co…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 数回の記事で、万有引力を念頭に、逆2乗法則の引力の場合に2次元のケプラー問題の運動や軌跡を解きました。 今回は斥力の場合に運動や軌跡がどうなるかを見ていきます。 万有引力には斥力…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 今回はケプラー問題で の場合の運動を求めます。 このときの質点の軌跡は双曲線となります。動径方向の運動『2次元のケプラー問題』より、動径 と時刻 との関係は以下で与えられるのでし…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 今回は『2次元のケプラー問題』記事の続きで、 の場合を行います。 このとき、離心率 は となり、楕円軌道となります。動径方向の運動『2次元のケプラー問題』より、動径 と時刻 は で関…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 今回はケプラー問題で の場合の質点の運動を求めます。 この場合の軌道は放物線になります。放物線軌道の方程式『2次元のケプラー問題の軌跡』より、放物線軌道の方程式は で与えられます…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 今回は以前に見た中心力ポテンシャルの問題を解く方法で、力が逆2乗法則に従うケプラー問題を解いてみます。運動方程式を解く手順として、まず座標等を時間の関数として求め、その後時間…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 今回は『中心力ポテンシャル中での質点の軌跡 ～2次元～』の方法を使って、ケプラー問題の軌跡を求めてみましょう。この記事の内容 この記事の内容 参考 ケプラー問題のポテンシャル 積分…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 今回は、『中心力ポテンシャル中での質点の軌跡 ～2次元～』の内容を調和振動子に対して適用して、調和振動子の軌跡を求めて見ます。ポテンシャル調和振動子のポテンシャルは、ばね定数を…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 今回は、2次元において中心力ポテンシャル中で運動する質点の描く軌跡を求める方法を見ていきます。『中心力ポテンシャル中での質点の運動方程式 ～2次元～』で、中心力ポテンシャル中で…

高校数学では、定積分については偶関数・奇関数に対する便利な公式がありますね。 をそれぞれ偶関数、奇関数とする、つまり以下が成り立つとします： このとき、 を中点とする区間での定積分に対して次の公式が成り立ちます（ は正の定数）： 不定積分さて、…

双曲線関数は基本的に単なる指数関数なので（『もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) ： 双曲線関数の定義と相互関係』参照）、逆双曲線関数は対数関数で表すことができます。 を対数関数で表す とおくと 、これを指数関数で書き換えると つまり となりま…

この記事では、以下の積分 を実行してみます。 結果が実数関数であることを要請すると、 の値によって の範囲に制限が出てくる場合があるのでちょっと面倒。 後のために、被積分関数の平方根の中を平方完成しておきましょう： では、いくつかの場合に分けて…

1粒子系 1粒子系でのニュートンの運動方程式 1次元 力が働いてないときの運動 一定の力が働いているときの運動 空気抵抗のある系 速度に比例する空気抵抗を受ける落下 速度の2乗に比例する空気抵抗を受ける落下 調和振動子 1次元の調和振動子 調和振動子の強…

ちょっと Twitter の TL である回転体の体積と面積の話を見かけたのですが、（あまりその TL での話の本筋とは関係はない）回転体の表面積の計算方法でちょっと気になったので確認記事を書き書き。高校数学（数学III）で、回転体の体積を積分で求める公式を…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 以前の記事で1次元の調和振動子の運動方程式を解きましたが、今回は2次元の調和振動子を解きます。 直交座標と極座標でそれぞれ解いてみます。この記事の内容 この記事の内容 2次元調和振…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 前回、ラグランジアン形式と正準形式の運動方程式を極座標で表しましたが、今回は特にポテンシャル が中心力ポテンシャルの場合を考えます。【この記事の内容】 ラグランジアンとハミルト…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 前回はニュートン力学での2次元の運動方程式を極座標表示しましたが、今回はラグランジュ形式と正準形式（ハミルトン形式）での運動方程式を極座標で表します。ラグランジュ形式ポテンシ…

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。 今回はニュートンの運動方程式の極座標表示を導いてみます。 ラグランジアン形式や正準形式の方がラクだったかと思いますが、ついでにやろうと思ったら意外と記事が長くなったのでこれら…

ちょっと機を逸した気もしますが、リオオリンピックの閉会式で安倍マリオが東京からリオデジャネイロまで地球内部を貫通して行くのにどれくらいの時間がかかったのかを計算してみましょう。 まぁ、結構単純化したモデルなので参考程度と思ってくださいまし。…

ちょっと所用で重力ポテンシャルを計算する必要ができたので、学部の演習問題でやった積分の計算を久し振りにやり直してみました。 どちらかというと電磁気学で静電ポテンシャルの計算としてやった記憶の方が強いですが、まぁ全く同じ計算でした。質点と質量…

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ（目次）。 今回は最大公約数（GCD, Greatest Common Divsor）を求めるアルゴリズムを見ていきます。 最大公約数はアルゴリズムと言えばのユークリッド互除法で求められます。こ…

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ（目次）。 Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ。 今回は組合せの個数を計算するアルゴリズム。 その1では、あまり実用的ではないです…

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ（目次）。 今回は再帰関数の例としてよく出てくる自然数の階乗と、それに関連する順列の個数を計算するアルゴリズムを見ていきます。 再帰関数の例としてよく出てくると言っても…

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ（目次）。 今回は前回に引き続き、全順列を生成するアルゴリズムを見ていきます。 全開は『Java によるアルゴリズム事典』に載っている4つのアルゴリズムのうち1つ目のものを見…

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ（目次）。 今回はある定まった次数（並べるモノの個数。 コード中では degree とする）の全順列を生成するアルゴリズムを見ていきます。 『Java によるアルゴリズム事典』には4…