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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

6次の因数分解を考える

確認まずは、後で使う2次と3次の因数分解の公式を確認しておきましょう。2次の因数分解の公式平方の差の因数分解公式: 3次の因数分解の公式立方の和と差の因数分解公式: 6次の因数分解さて、上記の公式を使って、6乗の差を因数分解してみましょう: この因…

高校数学で求める球の体積 :n次元

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回はn次元球 の体積 を求めます。 の定義と の値n次元球の体積 は に比例するので、その比例定数を とおきましょう*1: が n の式として求まれば、 が求まります。 「高校数学で求める球…

とある三角関数の積分公式

今回は、 次元球の体積を求める際に使う三角関数の積分公式を導きます。 を自然数とする。 次の積分 を計算せよ。 を示す積分 に対して変数変換 を行うと 積分測度 : 積分区間 : 被積分関数 : よって を求める を求める が満たす漸化式を求める とする。 …

高校数学で求める球の体積 :4次元

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は半径 の4次元球 の体積 を求めます。 このあたりからが、普段あまり使わない体積になります。 でも計算の仕方は3次元までと同じ。 を 軸に垂直で球の中心から距離 の「3次元平面」で…

高校数学で求める球の体積 :3次元

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元。 半径 の3次元球 の体積 を求めます。 は半径 の普通の「球」です。 を 軸に垂直で球の中心から距離 の平面で切ると、半径 の「2次元球」(円)になり、その「2次元体積」(面…

高校数学で求める球の体積 :2次元

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は半径 の2次元球 の体積 を求めます。 は半径 の「円」です。 を 軸に垂直で球の中心から距離 の直線で切ると、半径 の「1次元球」(線分)になり、その「1次元体積」(長さ)は、前回…

高校数学で求める球の体積 :1次元

(なるべく)高校数学のみを使って、いろいろな次元の球の体積を求めてみます。目次 1次元 2次元 3次元 4次元 n次元 1次元の球の体積(円周の長さ)今回は1次元の場合。半径 の1次元球 の体積 を求める。 は「球」と書いてますが、これは単なる長さ の「線分…

とある高校数学の高次恒等式

今回は3次方程式の解の公式を導くのに使う3次の恒等式を導きます。 この恒等式は解の公式を導く以外にもしばしば使われるので、学生要チェック。3元3次式の因数分解の公式以下の恒等式(因数分解の公式)が成り立つ: 証明ここでは右辺を x の多項式として展…

2次方程式の解の公式を導く

2次方程式の解の公式は中学くらいで学習する公式で、高校数学でもよく使いますが、意外とその導出を自分の手でした人は少ないんじゃないでしょうか? ってことで、ちょっと実際にやってみます。2次方程式の解の公式とは2次方程式の解の公式とは、 を定数とし…

高校数学で ζ(1) = ∞ を示す

をリーマンのゼータ関数として、 は で与えられます。積分による級数の評価いろいろ証明の仕方はあるかと思いますが、ここでは数学IIIでよくやる「積分による級数の評価」(正式名称なんだっけ?)を使います。関数 のグラフとそれに付随する四角の区間の面…

高校数学でフィボナッチ数列の一般項を導く

フィボナッチ数列 フィボナッチ数列は次の F0, F1, 漸化式で定義されます: 高校では n = 1, 2, 3, ・・・ ですが、ここでは n = 0, 1, 2, 3, ・・・ とします。特性方程式とその解 漸化式より よって特性方程式は で与えられます。 この方程式の2つの解を …

高校数学で導く3次方程式の解の公式

高校数学では2次方程式の解の公式までしか学習しませんが、3次方程式の解の公式も高校数学の範囲内で導くことができます。 ここでは、解ける形の方程式から順々に一般的な形にしていきます(一覧)。 ・・・(この記事) ・・・(この記事) ・・・(次回) …

ほむらに葬られなかった問題 その2

魔法少女まどか☆マギカ #10 より。 【問題】 p は素数、n は任意の自然数とします。 (1+n)p - np - 1 が p で割り切れることを証明してください。 【解答】 二項定理より なので ここで pCr (ただし 1≦r≦p-1)が p の倍数であることを示す。 p は素数なので…

ほむらに葬られなかった問題 その1

魔法少女まどか☆マギカ #10 より。【問題】 とします。 を計算してください。 【解答】 より よって

魔法少女になるための教養

「今週のまどかマギカに出てきた数学の問題を復元してみた。誰か解いてね。」より。【問題】 により定義される数列 をフィボナッチ数列といい、その一般項は で与えられる。 この事実を踏まえて以下の問に答えよ。各桁の数字が0か1である整数の列 を次の規則…