双曲線関数の公式を見ていくシリーズ（目次）。 今回は双曲線関数が負の引数、純虚数の引数の場合にどうなるかを見ていきます。 もう少し正確に言うと、引数が ( は虚数単位)である場合の関数値を、引数が の場合の関数値で表そうということです。 ちなみに…

今回から何回かにわたって双曲線関数 (hyperbolic functions) を見ていきます。 双曲線関数の定義と相互関係 負の引数、純虚数の引数 双曲線関数の加法定理 双曲線関数の倍角の公式 双曲線関数の半角の公式 双曲線関数の三倍角の公式 双曲線関数の合成 双曲…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回は三角関数の積分。微分公式の場合と同じように、ここでは正弦・余弦の微分公式はオイラーの公式を使って導いているので高校の範囲を逸脱していますが、結果は公式として覚えておくということでいいでしょう…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回から数学IIIに突入。 今回は三角関数の微分。この記事では、正弦・余弦の微分公式はイラーの公式を使って導きます。 それら以外の三角関数は（正弦・余弦の微分公式を使って）高校数学の範囲内で導けます。…

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 今回は、以前導いた正接 () の加法定理とは別の表式を導いてみます。 あんまり高校ではやりませんが。 導き方は、分母分子に を掛けて積和の公式を使います： またこの式で の置き換えをして、負の引数の公式を用…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回は三角関数の和積の公式。 和積の公式は前回の積和の公式とは逆に、2つの三角関数の積を2つの三角関数の和で表す公式です。 公式の導き方は、単に積和の公式を逆に解くだけです。 積和の公式は4つありました…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回は積和の公式。 積和の公式とは、2つの三角関数の積を2つの三角関数の和に変換する公式です。 これもやはり三角関数の加法定理から導きます。 三角関数の加法定理は以下のようになってました： 積和の公式は…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回は三角関数の合成を見ていきます。 三角関数の合成は加法定理を今までと逆に使うというのがミソ。 使いどころを認識しておくのも大切です。 合成を実行する式は と の1次式です： 合成の大まかな手順は でく…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回は三倍角の公式。 三倍角の公式の導出方法は倍角の公式の場合とだいたい同じです。 下線部を付けているのは、以前に導いた三角関数の相互関係、倍角の公式を使用している箇所です。正弦 余弦 正接 【発展】…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回は三角関数の半角の公式を導きます。 三角関数で半角の公式を導くには、余弦の倍角の公式を使います。正弦まずは正弦の半角の公式を導きましょう。 余弦の倍角の公式で を使った表式 を について解いて の置…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回は倍角の公式。 倍角の公式の導出は、前回導いた加法定理で とすればいいだけです： 【発展】その他の三角関数高校で出てこない3つの三角関数についても同様に倍角の公式が導けます： は無理せず（？） で表…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回は大事な大事な三角関数の加法定理を導きます。 複素数の性質を使えば の表式を同時に導けますが（『オイラーの公式と三角関数の加法定理』参照）、そのうちやるつもりの双曲線関数に対してはこの方法を使え…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 今回は三角関数で引数が負や純虚数である場合を考えます。オイラーの公式より、正弦・余弦はそれぞれ指数関数と という関係があるのでした。【この記事の内容】 負の引数 【発展】その他の三角関数 【発展】純虚…

今回から何回かに渡って、高校数学で出てくる三角関数の公式をオイラーの公式を使って定義・導出していきます。【シリーズ記事の目次】 三角関数の定義と相互関係 負の引数、純虚数の引数 三角関数の加法定理 倍角の公式 半角の公式 三倍角の公式 三角関数の…

高校数学にも出てきてそうな の因数分解について少々。 係数は整数の範囲で。 ガロア理論知ってる人には常識っぽい話かもしれませんが。因数 とりあえず任意の について なので、因数定理より は を因数に持ちますね。 この因数でくくると となります。 後の…

今回は以下の形の初項、漸化式で定義される数列の一般項を求めます： は定数とします。 漸化式の問題の基本中の基本ですね。 の場合まずは の場合。 このときは特性方程式の解 を使って等比数列を構成し、一般項を求めます。特性方程式漸化式で をともに と…

以前の記事でオイラーの公式 を使って三角関数の加法定理に関連する公式を導きました。 今回はこのオイラーの公式を用いて、三角関数と指数関数を含む積分を求める方法を見ていきます。 今回見ていく積分は以下の形のもの： 正弦を余弦に変えたものも同じ方…

今回は点と直線の距離を、ベクトルを用いた方法で導いてみます（目次）。 この方法は簡単に3次元（以上）に拡張できるので秀逸です。公式の確認点と直線の距離の公式はこんなのでした： 点 と直線 との距離 は で与えられる。 では導出を。導出点 から直線 …

前回、点と直線の距離を真面目に導出しましたが、忘れたときに導出するのがちょっと手間。 ということで、今回は同じ公式をもう少し手短に（簡単かどうかは人による）導出する方法を（目次）。 まぁ、点と直線の距離の公式を忘れたらこの導出方法も覚えてな…

高校数学で、導出に手間がかかるので覚えておかないとテストとかでどうしようもなくなる公式の筆頭候補が点と直線の距離の公式です。 まぁ、手間が少々かかるというだけで、導こうと思って導けない公式ではないので、実際に導いてみましょう。導き方にはいく…

階差数列 sequence of differences 階差数列の定義数列の隣り合う2項の差を数列とみなしたものを階差数列といいます。 数列 の階差数列を とすると、 は を用いて と表されます。階差数列から元の数列を求める階差数列を初項から第 項まで加えると のとき、 …

公式この記事では、以下の3元3次恒等式を証明します。 以前の記事では、右辺を展開することで示しましたが、ここでは左辺を因数分解していきます。証明準備まず準備として、2元3次式の恒等式を1つ証明しましょう。 次のような公式です： これは3乗の和を変形…

義務教育を受けているなら、中学校で三角形の合同条件を3つ学習していると思います。 その3つはこんなのでした： 3辺相等・・・3辺がそれぞれ等しい 2辺挟角相等・・・2辺とその間の角がそれぞれ等しい 1辺両端角相等・・・1辺とその両端の角がそれぞれ等し…

一般項 が （ただし ）で与えられる数列を考え、その n 項までの和を とします： 以下で、この和を計算します。方法その1 を、等比級数の公式を導いた方法で計算します。 よって したがって、 は以下のようになります： 方法その2次は微分を使ってガリガリ計…

唐突ですが、以下の和をきちんと計算できるでしょうか？ ただし、 r ≠ 1 (1), (3) ではさらに *1 (3), (4) ではさらに *2 とします。 それぞれどこが違うかわかりますよね？ これらはどれも等比級数（等比数列の和）になっています。等比級数の公式一応復習…

確認まずは、後で使う2次と3次の因数分解の公式を確認しておきましょう。2次の因数分解の公式平方の差の因数分解公式： 3次の因数分解の公式立方の和と差の因数分解公式： 6次の因数分解さて、上記の公式を使って、6乗の差を因数分解してみましょう： この因…

（なるべく）高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。 今回はn次元球 の体積 を求めます。 の定義と の値n次元球の体積 は に比例するので、その比例定数を とおきましょう*1： が n の式として求まれば、 が求まります。 「高校数学で求める球…

今回は、 次元球の体積を求める際に使う三角関数の積分公式を導きます。 を自然数とする。 次の積分 を計算せよ。 を示す積分 に対して変数変換 を行うと 積分測度 ： 積分区間 ： 被積分関数 ： よって を求める を求める が満たす漸化式を求める とする。 …

（なるべく）高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。 今回は半径 の4次元球 の体積 を求めます。 このあたりからが、普段あまり使わない体積になります。 でも計算の仕方は3次元までと同じ。 を 軸に垂直で球の中心から距離 の「3次元平面」で…

（なるべく）高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。 今回は3次元。 半径 の3次元球 の体積 を求めます。 は半径 の普通の「球」です。 を 軸に垂直で球の中心から距離 の平面で切ると、半径 の「2次元球」（円）になり、その「2次元体積」（面…