倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

初等関数

もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) : 双曲線関数の定義と相互関係

今回から何回かにわたって双曲線関数 (hyperbolic functions) を見ていきます。 双曲線関数の定義と相互関係 負の引数、純虚数の引数 双曲線関数の加法定理 双曲線関数の倍角の公式 双曲線関数の半角の公式 双曲線関数の三倍角の公式 双曲線関数の合成 双曲…

三角関数の公式を復習する (11) : 三角関数の積分

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の積分。微分公式の場合と同じように、ここでは正弦・余弦の微分公式はオイラーの公式を使って導いているので高校の範囲を逸脱していますが、結果は公式として覚えておくということでいいでしょう…

三角関数の公式を復習する (10) : 三角関数の微分

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回から数学IIIに突入。 今回は三角関数の微分。この記事では、正弦・余弦の微分公式はイラーの公式を使って導きます。 それら以外の三角関数は(正弦・余弦の微分公式を使って)高校数学の範囲内で導けます。…

正接の加法定理・再考

もう少し三角関数の公式シリーズ(目次)。 今回は、以前導いた正接 () の加法定理とは別の表式を導いてみます。 あんまり高校ではやりませんが。 導き方は、分母分子に を掛けて積和の公式を使います: またこの式で の置き換えをして、負の引数の公式を用…

三角関数の公式を復習する (9) : 三角関数の和積の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の和積の公式。 和積の公式は前回の積和の公式とは逆に、2つの三角関数の積を2つの三角関数の和で表す公式です。 公式の導き方は、単に積和の公式を逆に解くだけです。 積和の公式は4つありました…

三角関数の公式を復習する (8) : 三角関数の積和の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は積和の公式。 積和の公式とは、2つの三角関数の積を2つの三角関数の和に変換する公式です。 これもやはり三角関数の加法定理から導きます。 三角関数の加法定理は以下のようになってました: 積和の公式は…

三角関数の公式を復習する (7) : 三角関数の合成

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の合成を見ていきます。 三角関数の合成は加法定理を今までと逆に使うというのがミソ。 使いどころを認識しておくのも大切です。 合成を実行する式は と の1次式です: 合成の大まかな手順は でく…

三角関数の公式を復習する (6) : 三倍角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三倍角の公式。 三倍角の公式の導出方法は倍角の公式の場合とだいたい同じです。 下線部を付けているのは、以前に導いた三角関数の相互関係、倍角の公式を使用している箇所です。正弦 余弦 正接 【発展】…

三角関数の公式を復習する (5) : 半角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の半角の公式を導きます。 三角関数で半角の公式を導くには、余弦の倍角の公式を使います。正弦まずは正弦の半角の公式を導きましょう。 余弦の倍角の公式で を使った表式 を について解いて の置…

三角関数の公式を復習する (4) : 倍角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は倍角の公式。 倍角の公式の導出は、前回導いた加法定理で とすればいいだけです: 【発展】その他の三角関数高校で出てこない3つの三角関数についても同様に倍角の公式が導けます: は無理せず(?) で表…

三角関数の公式を復習する (3) : 三角関数の加法定理

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は大事な大事な三角関数の加法定理を導きます。 複素数の性質を使えば の表式を同時に導けますが(『オイラーの公式と三角関数の加法定理』参照)、そのうちやるつもりの双曲線関数に対してはこの方法を使え…

三角関数の公式を復習する (2) : 負の引数、純虚数の引数

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数で引数が負や純虚数である場合を考えます。オイラーの公式より、正弦・余弦はそれぞれ指数関数と という関係があるのでした。【この記事の内容】 負の引数 【発展】その他の三角関数 【発展】純虚…

三角関数の公式を復習する (1) : 三角関数の定義と相互関係

今回から何回かに渡って、高校数学で出てくる三角関数の公式をオイラーの公式を使って定義・導出していきます。【シリーズ記事の目次】 三角関数の定義と相互関係 負の引数、純虚数の引数 三角関数の加法定理 倍角の公式 半角の公式 三倍角の公式 三角関数の…

オイラーの公式を高校数学に役立てる ~積分編~

以前の記事でオイラーの公式 を使って三角関数の加法定理に関連する公式を導きました。 今回はこのオイラーの公式を用いて、三角関数と指数関数を含む積分を求める方法を見ていきます。 今回見ていく積分は以下の形のもの: 正弦を余弦に変えたものも同じ方…

ベルヌーイ数に関連する冪級数展開

前回見たベルヌーイ数ですが、 正接関数 をはじめいくつかの初等関数*1の冪級数展開(テイラー展開)の係数として登場します。 今回はそれらの冪級数展開を導きたいと思います(やはり[wikipeida:ベルヌーイ数]に載ってる公式の導出をやってるだけですが)。…

双曲線関数の冪級数展開

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数の冪級数展開(オイラー展開)の表式を導きます。 三角関数の場合と同じように、冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。 指数関数の冪級数展…

三角関数の冪級数展開

もう少し三角関数の公式シリーズ(目次)。 今回は高校数学の範囲を超えていますが、三角関数の冪級数展開(オイラー展開)の表式を導きます。 ここでは冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。指数関数の冪…

指数関数の冪級数から指数法則を導く

以前の記事で、オイラーの公式を使って三角関数の加法定理を導きましたが、その導出では指数関数の性質として指数法則の1つ を使っていました。 ただし、引数が複素数(純虚数)の場合にそれが成り立つのは自明ではありません。 この記事では実際にそれが成…

複素変数の双曲線関数

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 前回、複素変数の三角関数の表式を導きましたが、双曲線関数についても同様の表式を導いてみましょう。 つまり を実数、 を虚数単位として、 などを などで表してみます。双曲線関数の場合も、以前の記事で導…

複素変数の三角関数

もう少し三角関数の公式シリーズ(目次)。 この記事では、引数が複素数の場合の三角関数の表式を導きます。 もう少し具体的に言うと、 や などを や などを使って表そうということです。 ちなみに、この記事中では は実数とします(別に複素数でも式自体は…

オイラーの公式と三角関数の加法定理

高校数学ではオイラーの公式 は学習しませんが、それを使って三角関数の加法定理などを導く方法はよく知られていると思います。 この記事でもベタに加法定理や倍角の公式を導いてみます。加法定理まずは一番よく知られていて、また他の公式の基本になる三角…